Je ne sais pas si ce que je vais écrire servira à qui que ce soit pour se "convaincre" que 0.999...(suite infinie de 9) est effectivement égal à 1, mais bon... on va essayer.
Déjà, il faut commencer par se demander ce que signifie l'écriture décimale d'un nombre. La réponse est la suivante: un chiffre k en i-ème position après la virgule, "vaut" k. 10^(-i), et le nombre représenté est la somme des valeurs des chiffres.
Exemple: le nombre écrit 0.203 est la somme de:
2 x 10^(-1), soit deux dixièmes
0 x 10^(-2), soit zéro
3 x 10^(-3), soit trois millièmes
On calcule, ça fait 203 millièmes, tout va bien.
Si, au-delà d'une certaine position, on n'a que des chiffres nuls, on ne les écrit traditionnellement pas: on écrit 0.203 et pas 0.203000.....
Maintenant, que faire quand on a une infinité de chiffres? Ben dans ce cas, il faut être capable de donner du sens à la somme d'une infinité de nombres. On appelle ça une série, on apprend ça... heu... disons dans les 3 premières années de licence de maths, au moins. Il y a des conditions pour que la série "converge" (on ne peut pas donner du sens à n'importe quelle somme d'une infinité de termes), et il se trouve (faites moi confiance) que la série correspondant à l'écriture décimale infinie d'un nombre, est bien de ce type. Et même, la convergence est d'un genre suffisamment "confortable", pour qu'on puisse, par exemple, faire la somme de deux telles séries "terme à terme" sans s'inquiéter, ou multiplier une série par un nombre fixe, le résultat restera correct.
Exemple - digression:: prenons le nombre 0.232323... (une suite infinie de 2 et de 3 en alternance)
Ce nombre x est la somme de y=0.202020202... et de z=0.0303030303...
Si je multiplie z par 10, ça a bien comme effet de décaler tout vers la gauche: 10.z = 0.30303...
Si maintenant je divise y par 2, je n'ai pas de problèmes (tous les chiffres sont pairs), ça me donne bien y/2 = 0.1010101..., et de même si je divise 10.z par 3: 10.z/3 = y/2 = 0.1010101...
Quid de ce 0.10101...? Ben c'est 1/10, plus 1/1000, plus 1/100.000, plus...
Ceux qui ont fait un peu de maths (post-terminale, il me semble), reconnaissent une
série géométrique, de premier terme a=1/10 et de raison q=1/100, dont on sait que la somme vaut
a/1-q, soit (1/10)/(1-1/100)=10/99 (normalement, si vous demandez à votre calculette de faire 10/99, vous devriez avoir un truc du genre 0.10101...).
Résultat, on a bien x = y + z, avec y = 2. 10/99 et z = (3/10) (10/99) = 1/33, ce qui, tous calculs faits, donne x=23/99.
Fin de la digression
Revenons à notre x=0.999...: avec les histoires de séries et tout, ça justifie bien le fait que, si on le multiplie par 10, on obtient bien 10x=9.99999..., qui est également 9+x. Donc x est solution de l'équation 10x=9+x, équation dont la résolution est à la portée de n'importe quel lycéen (j'espère), la seule solution étant x=1.
En fait, les nombres réels ont une unique écriture décimale,
sauf ceux qui ont une écriture décimale finie (ie, qui en ont une qui se termine par une infinité de zéros, qu'on peut omettre - ce sont les nombre dits "décimaux", précisément), qui en ont exactement deux: celle qui se termine par une suite infinie de zéros, et une autre, qui se termine par une suite infinie de 9.
Voilà... vous pouvez reprendre une activité normale.
(Je parie que si je demande aux gens de deviner quelle matière j'enseigne, tout le monde va se tromper

)