HS :
Si tu fais référence à Gödel, c'est l'inverse :
Il est impossible de prouver la cohérence d'un système axiomatique à l'intérieur de ce même système.
Par contre, il est parfaitement plausible au sein d'un système axiomatique donné de montrer que ce système est incohérent.
Je crois que Gödel dit plutôt que dans un système axiomatique, il y aura toujours des propositions indécidables, mais il ne dit pas qu'on peut trouver des propositions contradictoires.
Enfin c'est possible que je me plante, mais je dirais intuitivement, que si l'on peut trouver des propositions contradictoires dans un système axiomatique, alors la logique s'effondre... si elle peut démontrer une chose et son contraire.
Hm, ni l'un ni l'autre (enfin, pas exactement).
Il existe déjà des systèmes axiomatiques dans lequel il n'y a
aucune proposition indécidable. C'est d'ailleurs la thèse de Gödel : la logique du premier ordre est complète.
- système axiomatique = ensemble de symboles et de règles de logique sur ces symboles. En réalité donc, une démonstration n'est qu'un calcul, enchaînement de ces règles élémentaires données par les axiomes. Exemple de telle règle : si A=>B et C alors A=> B, ou bien encore, plus drôle, A=>B,C=>D alors A=>B. Un théorème est donc un résultat équivalent, par le biais de ces règles, à "vrai".
- on dit d'une théorie qu'elle est cohérente si on ne peut aboutir à aucune contradiction, partant des axiomes
- on dit d'une théorie qu'elle est complète si, de toute proposition exprimée dans la théorie, on peut dire si elle est vraie ou non.
Ce qu'a prouvé Gödel, c'est que l'arithmétique de Péano (grosso modo, les entiers naturels avec 0, l'addition, la multiplication et la récurrence) n'était pas complète. Il a même exhibé une telle proposition indécidable : la cohérence de l'arithmétique de Péano, représentée dedans (je trouve toutefois qu'il y a là une subtilité, car il est nécessaire de passer par le méta-langage pour ce faire). Par conséquent, il est impossible de démontrer que l'arithmétique de Péano est cohérente avec cette seule théorie à sa disposition. Gödel a aussi prouvé que toute théorie
cohérente assez riche pour formaliser l'arithmétique dans son sein admettait aussi des propositions indécidables.
C'était plus ou moins un choc pour les mathématiciens de l'époque (enfin, surtout pour le programme d'Hilbert), car ça signifiait qu'on ne pourrait pas établir la vérité ou la fausseté de n'importe quelle proposition.
Cela signifie qu'il existe des propositions dont on ne peut pas décider si elles sont vraies ou fausses (dans les mathématiques utilisant, par exemple, la théorie des ensembles) ; l'informatique a depuis fourni une multitude d'exemples de telles propositions avec des résultats intéressants, parfois surprenant.
Bien sûr, là où la logique informatique/mathématique se distingue de la logique philosophique, c'est qu'elle ne se pose pas la question de son méta-langage : il existe au-dessus du langage de la théorie un méta-langage qui permet d'énoncer cette théorie et de donner des informations dessus.
Toutefois, la subtilité, et ce qu'a dit Mardil sans le dire, c'est qu'une fois "plongé" dans la théorie des ensembles, l'arithmétique de Péano est cohérente. C'est pour ça qu'on dit par abus de langage qu'elle est cohérente tout court.
L'essentiel est préservé : il n'y a pas de possibilité de contradiction dans les mathématiques telles qu'on les pratique (non, parce que personne ne travaille dans des théories non cohérentes : aucun intérêt...).
Fin du HS
Publié par Soir
Mais ce sujet, c’est plutôt « avez-vous conscience que certaines de vos positions sont des actes de foi, ou bien avez-vous l’opinion selon laquelle aucun type de foi n’a de place dans votre vie ? ».
Quand on lit le sujet (l'ancien, et même le nouveau), il est logique que la discussion ai dérivé vers l'athéisme, parce que croire en Dieu est plus ou moins l'acte de foi le plus fort qu'on puisse penser.
Mais pour répondre strictement au sujet, l'essentiel de mes positions sont rationnelles, ou s'expliquent de manière rationnelle. Parce que je peux pour chacune les expliquer par mon histoire personnelle ou une argumentation logique. Mais derrière chacune de ces positions, il y a quand même une idée qui est pour moi un acte de foi : c'est le fait que l'humanité existe, bien au-delà du concept génétique.
Toutefois, à partir du moment où on a conscience qu'une de nos positions est un acte de foi, cela signifie qu'on a douté de cette position (dans un sens très large), et c'est seulement à partir de ce moment là de toute façon que j'estime qu'on peut affirmer croire en la chose (sans le doute, la foi est-elle autre chose qu'aveuglement ou fanatisme ?).
En d'autres termes, pour répondre à ça :
Publié par Faerune Stormchild
Ah donc, le sujet c'est l'absence de confiance est t'elle un déclencheur de crise de foi?
Pas nécessairement, car s'il n'y a pas de doute possible, alors il n'y a pas de confiance (et il n'y a donc d'ailleurs pas de trahison). L'endoctriné ne doute pas, et est donc incapable de faire confiance puisque pour lui la question ne se pose pas.
Pour revenir sur l'athéisme, on met souvent sur le même plan les athées et les croyants en disant que tout les deux croient en quelque chose. A mon sens, leur manière de croire n'a rien de comparable et est profondément asymétrique ! L'un croît en l'existence d'une chose, d'un être positif par sa définition (c'est un être qu'on définit par ses qualités, pas par son absence de certaines qualités), l'autre ne croît pas en son existence. Il n'y a pas d'acte de foi dans le fait de ne pas croire en Dieu.
Bien sûr, il faudrait nuancer, car l'athéisme est plus vaste que ne le sous-entend l'unicité du terme...