Les mathématiques au collège : La factorisation

Moibenji · 04/12/2005, 11h59

Alors voilà, lundi j'ai une interrogation de 1/4 d'heure sur cette magnifique chose qu'est la factorisation.
J'entend déjà les : C'est facile blabla

Mais, il y a toujours des irrégularité (je dois confondre avec l'anglais :s)
Alors j'aimerai savoir plusieurs choses:
Comment avec cette expression : 4x²-12x+8 arriver à (4x-4)(x-2)

Mon professeur nous avais parlé d'une "feinte", pour arriver à trouver le résultats de certaines questions :
g=4x²-21+9

j'ai trouvé un résultat bizar : (2x-3)²-9x (j'avais oublié le x)
Est-ce possible ?
merci

Ange du Destin · 04/12/2005, 12h05

Citation :

Publié par Moibenji

Comment avec cette expression : 4x²-12x+8 arriver à (4x-4)(x-2)

4x² ets un carré. Celui de 2x. imagine que -12x est le double produit de l'identité remarquable (a+b)². Utilise cette identité. Tu arriveras à une autre identité remarquable de la forme a²-b²

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4x²=(2x)²
-12x = 2 * 2x * -3
==>
4x²-12x+8 = 4x²-12x+8 +3² -3 ² = (2x)² +2*2x*-3 + (-3)² +8 - 9 = (2x-3)² - 1 = (2x-2)(2x+4)

En fait, tu arriveras à (2x-2)(2x-4), ce qui revient au même

Je te laisse faire l'autre

Et ton résultat est faux,

numero6 · 04/12/2005, 12h08

Citation :

Publié par Moibenji

j'ai trouvé un résultat bizar : (2-3)²-9x
Est-ce possible ?
merci

Pour savoir si c'est possible, redéveloppe....

Moibenji · 04/12/2005, 12h11

Oui mais je fais une entorse à la définition de base :
Factoriser, c'est rendre une somme en un produit.

Sandamar · 04/12/2005, 12h28

Je sais pas si au college on fait sa mais une methode simple si tu la deja fait c'est celle la.

On cherche les racines de ce polynome, en le posant egal a 0.

On trouve un discriminant egale a : 16 donc la racine vaut 4 puis tu trouves:

x'= (12+4)/8= 2
x"= (12-4)/8= 1

Or tu sais que la factorisation d'un polynome se fait de la forme : " coefficient de plus haut degré fois le produit de 1 a n des ( x-x') racine.

Donc tu en déduis que ton polynome se factorise comme suit :

4(x-2)(x-1)= (x-2)(4x-4)

Maintenant je sais pas si on apprend a resoudre les trinomes du seconde degré au college, donc tous ce que je dis est inutile si tu l'as jamais fait.

Bon courage

Ange du Destin · 04/12/2005, 12h31

Citation :

Publié par Moibenji

Oui mais je fais une entorse à la définition de base :
Factoriser, c'est rendre une somme en un produit.

Si c'est à moi que tu parles, je le fais, maïs en deux étapes. La première en utilisant (a+b)² = a² + 2ab + b² puis en utilisant a²-b² = (a-b)(a+b)

Dimitri · 04/12/2005, 12h34

Pour les polynômes du second degrés (avec x²) la factorisation est facile il faut que le produit des x dans les deux parenthèses donnent le x² avec le bon coefficient et que les produits des "nombres sans x" soit égale au "nombre sans x" de l'expression de départ
Par exemple : g=4x²-12x+8 il faut que les x des parenthèses en produit fassent 4x² donc soit 4x*x ou 2x*2x et il faut que les nombres soient égales a 8 donc -2*-4 ça fait donc g=4x²-12x+8=(4x-4)(x-2)=(2x-4)(2x-2).
Voila.

Je suis nul en explication

kermo · 04/12/2005, 12h38

Non on fait pas les trinômes au collège

Le truc avec la factorisation c'est que c'est une des choses où il faut en quelque sorte "voir" le résultat pour ne pas s'emmêler dans des calculs abracadabrantesques.

Exemple pour 4x²-12x+8 :

- déjà tu peux factoriser par 4 : 4(x² - 3x + 2)

- ensuite tu vois une identité presque remarquable, à savoir que -3 (le nombre devant x) est la somme de -1 et -2, tandis que +2 (le nombre tout seul) en est le produit. on peut donc factoriser en 4(x - 2)(x - 1)

Une autre astuce est de voir que la somme des coefficients 4 - 12 + 8 = 0
Quand la somme est égale à 0 c'est qu'on peut factoriser par (x-1).

A mon avis il doit y avoir assez de méthodes générales de factorisations dans ton cours, si le prof commence déjà à parler de feintes au collège on n'est pas sorti de l'auberge..

Bref, non la factorisation c'est pas facile, c'est typiquement le truc où certains voient tout de suite comment faire alors que ça parle moins à d'autres.

Moibenji · 04/12/2005, 12h39

je crois pas moi non plus :s

Tholdan · 04/12/2005, 12h53

Citation :

Publié par Moibenji

Alors voilà, lundi j'ai une interrogation de 1/4 d'heure sur cette magnifique chose qu'est la factorisation.
J'entend déjà les : C'est facile blabla

Mais, il y a toujours des irrégularité (je dois confondre avec l'anglais :s)
Alors j'aimerai savoir plusieurs choses:
Comment avec cette expression : 4x²-12x+8 arriver à (4x-4)(x-2)

Mon professeur nous avais parlé d'une "feinte", pour arriver à trouver le résultats de certaines questions :
g=4x²-21+9

j'ai trouvé un résultat bizar : (2x-3)²-9x (j'avais oublié le x)
Est-ce possible ?
merci

edit: J'ai rien dit.

MiaJong · 04/12/2005, 13h40

En tout cas ton prof abuse un peu niveau programme, parce qu'au collège on ne voit en théorie que les factorisations simples, c'est à dire celle avec des termes communs entre les multiplications (la factorisation par 4 par exemple) ou celles avec les identités (ou un mélange des deux).

Je me trouvais ambitieux avec mes élèves sur la factorisation cette année, mais là c'est encore pire

Pour ce genre de cas, je trouve que le plus facile c'est une factorisation à "trou" : tu as 4x²-12x+8, donc déjà on factorise par 4 et on a 4(x²-3x+2).
Ensuite, la factorisation sera du type 4(x......)(x......) à cause du x². Reste à compléter pour que tout colle. Les ...... sont forcément deux chiffres seuls (sinon on ne pourrait pas obtenir le 2, il y aurait toujours des "x" dedans).
Et il n'y a que 2 possibilités pour obtenir 2 : 1x2 ou -1x-2 . Suffit de les essayer toutes les 2 en redéveloppant pour que ça colle avec le -3.
Et on constate qu'il faut finalement 4(x-1)(x-2), c'est à dire la 2eme possibilité.
C'est, à mon avis, le plus simple à ton niveau.

Sinon, je confirme ce que dit Kermo : la Factorisation, c'est dur, parce qu'il faut "voir" le résultats et manipuler les chiffres.
Mais je vais de ce pas vérifier les programmes de 3eme, parce que là c'est vraiment ambitieux

Moibenji · 04/12/2005, 13h53

Merci maintenant je comprend mieux

Si seulement les maths était enseigné sur un pc

tout serais plus facile ^^

lezebulon · 04/12/2005, 13h56

Citation :

Publié par kermo

Une autre astuce est de voir que la somme des coefficients 4 - 12 + 8 = 0
Quand la somme est égale à 0 c'est qu'on peut factoriser par (x-1).

Cool ça je connaissais pas

Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ?

Carminae · 04/12/2005, 13h57

Bosse bien la factorisation, car tu risques d'en bouffer encore en seconde, en première S et en terminale, je sais pas, j'y suis pas encore

Moibenji · 04/12/2005, 14h01

Merci du conseil franchement je vous suis redevable

J'ai une question au professeur de math:
J'ai entendu parler sur le net, qu'en trouvant des nombres premier (en fait je sais plus le nom exacte) on peut être récompensé de 10 000 dollars par nombre premier trouvé au delà d'un seuil.

Ange du Destin · 04/12/2005, 14h07

Citation :

Publié par MiaJong

...)

Avec ta méthode, on prendra que des entiers

De plus, elle est aps très adaptés quand le nombre du degré 0 est assez chiant en terme de décomposition en nombre premier

*préfère sa méthode qui permet en bonus la démonstration du résultat général

*

Ex-voto · 04/12/2005, 14h07

Citation :

Publié par lezebulon

Cool ça je connaissais pas
Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ?

?

Son astuce revient à essayer la racine évidente x=1, rien de révolutionnaire quoi

Lagoon · 04/12/2005, 14h07

Citation :

Publié par lezebulon

Cool ça je connaissais pas
Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ?

Y a aucune astuce la dedans. Tu remplaces x par 1 et tu regardes si c'est une racine du trinome, si ca l'est, c'est que le trinome peut etre factorisé par (x-1).

Si par exemple tu trouves que 2 est racine du trinome, tu peux factoriser par (x-2) etc..

Khelben · 04/12/2005, 14h22

Citation :

Publié par MiaJong

Sinon, je confirme ce que dit Kermo : la Factorisation, c'est dur, parce qu'il faut "voir" le résultats et manipuler les chiffres.

Oui, surtout dans le cadre du programme de 3ème où l'on ne voit pas la méthode du discriminant, qui rend les choses très simples dès lors qu'on la connait. Là en gros, c'est un peu comme si leur prof leur faisait creuser un trou en leur donnant une petite cuillère, alors qu'avec une pelle ce serait beaucoup plus facile. C'est sûr que c'est formateur, mais ca peut etre frustrant quand on galère, et d'autant plus idiot que le fait de galérer ne vient pas de la difficulté de la tâche en elle-même (qui est facile) mais du manque d'outil.

POWERBISON · 04/12/2005, 14h24

Si ton trinôme est de la forme x² + ax + b il se factorise en (x-x₁)(x-x₂) avec x₁+x₂ = -a et x₁x₂ = b, dans le cas général ce système équivaut à une équation du 2^nd degré mais en pratique au collège les solutions sont toujours entières dont en bidouillant un peu (en factorisant b et en partitionnant -a) tu pourras souvent trouver la factorisation rapidement.

Ange du Destin · 04/12/2005, 14h29

Citation :

Publié par Khelben

C'est sûr que c'est formateur, mais ca peut etre frustrant quand on galère, et d'autant plus idiot que le fait de galérer ne vient pas de la difficulté de la tâche en elle-même (qui est facile) mais du manque d'outil.

Sauf si il souhaite leur démontrer l'outil, ce qui est parfaitement faisable avec les outils qu'ils ont. Ca leur permettra de mieux contre le pourquoi de la méthode du discriminant

kermo · 04/12/2005, 14h41

Citation :

Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ?

Il y a deux astuces pour trouver rapidement si on peut factoriser par (x-1) ou par (x+1) :

On peut factoriser par (x-1) si 1 est racine du polynôme, or vu que toutes les puissances de 1 sont aussi égales à 1, ça revient à faire la somme des coefficients et à voir si c'est nul.

On peut factoriser par (x+1) si -1 est racine, ça revient à faire la somme des coefficients des puissances paires, à laquelle on soustrait la somme des coefficients des puissances impaires.
Par exemple dans 3x³+2x²+4x+5 : (2+5)-(3+4) = 0 donc on peut factoriser par (x+1).

Comme le dit Lagoon c'est pas spécialement des miracles, c'est juste que les calculs sont faciles et que ça permet de voir rapidement si 1 ou -1 sont racines.

Citation :

Publié par pH le sanglier

Si ton trinôme est de la forme x² + ax + b il se factorise en (x-x₁)(x-x₂) avec x₁+x₂ = -a et x₁x₂ = b, dans le cas général ce système équivaut à une équation du 2^nd degré

Oui ça équivaut en fait à l'équation de départ

Citation :

Avec ta méthode, on prendra que des entiers

Un prof de collège qui file des trinômes à racines rationnelles et non trouvables par identité remarquable, ça deviendrait un peu sadique là.
Les équations proposées ici sont à mon avis déjà pas simples pour des 4èmes.

MiaJong · 04/12/2005, 14h42

Citation :

J'ai entendu parler sur le net, qu'en trouvant des nombres premier (en fait je sais plus le nom exacte) on peut être récompensé de 10 000 dollars par nombre premier trouvé au delà d'un seuil.

C'est fort possible oui

Comme les nombres premiers sont à la base des cryptages actuels, ils valent très chers. Mais on est rendu à des nombres à plusieurs dizaines de chiffres, donc on ne les trouve pas par hasard

Citation :

Avec ta méthode, on prendra que des entiers
De plus, elle est aps très adaptés quand le nombre du degré 0 est assez chiant en terme de décomposition en nombre premier

Je rappelle qu'on est en troisième

Que la factorisation qu'il souhaite est déjà hors programme. Donc j'essayais de donner une astuce simple pour ce genre de cas. De toute façon au lycée, dès la seconde, il verra le discriminant (qui se démontre avec ce que tu as dit d'ailleurs), qui rendra obsolète tout ça.

Ange du Destin · 04/12/2005, 14h49

Citation :

Publié par MiaJong

Je rappelle qu'on est en troisième Que la factorisation qu'il souhaite est déjà hors programme. Donc j'essayais de donner une astuce simple pour ce genre de cas. De toute façon au lycée, dès la seconde, il verra le discriminant (qui se démontre avec ce que tu as dit d'ailleurs), qui rendra obsolète tout ça.

Je sais pas si Moibenji est dans la même classe que l'élève à qui je donne des cours, masi elle a eu le droit à ça avec un résultat avec des fractions et elle est en troisième. De mémoire, on voyait cela en troisième aussi bien que c'était hors-programme (sans la règle exact).
De ce que j'ai pu entendre, y a un joli fossé entre la troisième et la seconde, et je suis favorable à ce genre de "pont" qui permettra à l'élève de mieux relier ce qu'il a fait au collège avec ce qu'il fera au lycée.

Mais bon, je susi aps prof et actuellement, ce n'est pas la voie que je fais favoriser dans mes projets

Uvea · 04/12/2005, 14h50

Citation :

Publié par Moibenji

J'ai entendu parler sur le net, qu'en trouvant des nombres premier (en fait je sais plus le nom exacte) on peut être récompensé de 10 000 dollars par nombre premier trouvé au delà d'un seuil.

Si je ne m'abuse, on n'a pas le droit en France de faire des recherches poussées sur les nombres premiers, car ils sont à la base du système de codage de l'armée française.

C'est donc devenu illégal.

Maintenant, je me trompe peut-être.

numero6 Alpha & Oméga	Citation : Publié par Moibenji j'ai trouvé un résultat bizar : (2-3)²-9x Est-ce possible ? merci Pour savoir si c'est possible, redéveloppe.... __________________ kentoc'h mervel evet bezañ saotret
04/12/2005, 12h08

Moibenji Légende	Oui mais je fais une entorse à la définition de base : Factoriser, c'est rendre une somme en un produit.
04/12/2005, 12h11

Ange du Destin Bagnard	Citation : Publié par Moibenji Oui mais je fais une entorse à la définition de base : Factoriser, c'est rendre une somme en un produit. Si c'est à moi que tu parles, je le fais, maïs en deux étapes. La première en utilisant (a+b)² = a² + 2ab + b² puis en utilisant a²-b² = (a-b)(a+b)
04/12/2005, 12h31

Moibenji Légende	je crois pas moi non plus :s
04/12/2005, 12h39

Moibenji Légende	Merci maintenant je comprend mieux Si seulement les maths était enseigné sur un pc tout serais plus facile ^^
04/12/2005, 13h53

lezebulon Alpha & Oméga	Citation : Publié par kermo Une autre astuce est de voir que la somme des coefficients 4 - 12 + 8 = 0 Quand la somme est égale à 0 c'est qu'on peut factoriser par (x-1). Cool ça je connaissais pas Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ?
04/12/2005, 13h56

Carminae [IM] Alpha & Oméga	Bosse bien la factorisation, car tu risques d'en bouffer encore en seconde, en première S et en terminale, je sais pas, j'y suis pas encore
04/12/2005, 13h57

Moibenji Légende	Merci du conseil franchement je vous suis redevable J'ai une question au professeur de math: J'ai entendu parler sur le net, qu'en trouvant des nombres premier (en fait je sais plus le nom exacte) on peut être récompensé de 10 000 dollars par nombre premier trouvé au delà d'un seuil.
04/12/2005, 14h01

Ange du Destin Bagnard	Citation : Publié par MiaJong ...) Avec ta méthode, on prendra que des entiers De plus, elle est aps très adaptés quand le nombre du degré 0 est assez chiant en terme de décomposition en nombre premier préfère sa méthode qui permet en bonus la démonstration du résultat général
04/12/2005, 14h07

Ex-voto Alpha & Oméga	Citation : Publié par lezebulon Cool ça je connaissais pas Si t'a d'autres astuces du genre ou une généralisation tu peux la poster stp ? ? Son astuce revient à essayer la racine évidente x=1, rien de révolutionnaire quoi
04/12/2005, 14h07

POWERBISON Alpha & Oméga	Si ton trinôme est de la forme x² + ax + b il se factorise en (x-x₁)(x-x₂) avec x₁+x₂ = -a et x₁x₂ = b, dans le cas général ce système équivaut à une équation du 2^nd degré mais en pratique au collège les solutions sont toujours entières dont en bidouillant un peu (en factorisant b et en partitionnant -a) tu pourras souvent trouver la factorisation rapidement.
04/12/2005, 14h24

Les mathématiques au collège : La factorisation

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