[maths TS] Une petite question ! :D

jaimebbali · 19/02/2006, 00h20

Salut.

Je viens faire appel à la plèbe jolienne car j'ai une petite intérrogation sur un exo, et plus précisement sur un truc.

Je m'explique :

Peut-on calculer immédiatement lim xsin(1/x) lorsque x --> 0 ? Et dire que c'est 0 car lim x = 0 et lim sin (1/x) est compris entre -1 et 1 oO, dc ?

Parceque sur un site je vois une méthode mais je la capte pas. C'est un encadrement par valeur absolue. Je détaille :

ils font:

|x sin(1/x)| < |x| pr tt x de R, et en déduisent que lim x sin(1/x) = 0, en s'appuyant sur un théorème de comparaison qu'ils n'énoncent pas. C quoi ce théorème ? oO

A part l'utilisation du th. du Gendarme genre :

-x < xsin(1/x) < x et la théorème du gendarme ce qui donne 0, vous pensez que c'est correct ? Enfin vrai ?

Je sais que mon post n'est pas très clair, mais je voudrais en fait savoir comment on calcule

lim x->0 de xsin(1/x)

Merci d'avance

Ex-voto · 19/02/2006, 00h23

Citation :

Publié par jaimebbali

ils font:

|x sin(1/x)| < |x| pr tt x de R, et en déduisent que lim x sin(1/x) = 0, en s'appuyant sur un théorème de comparaison qu'ils n'énoncent pas. C quoi ce théorème ? oO

Théorème des gendarmes ou d'encadrement selon les professeurs. Ah bah j'avais pas lu la suite de ton post, donc oui ben c'est celui là.

Si tu le vois pas bien comme ça, essaye de poser y=1/x et tu fais tendre y vers l'infini.

jaimebbali · 19/02/2006, 00h24

Citation :

Publié par Ex-voto

Théorème des gendarmes ou d'encadrement selon les professeurs.

Tu pourrais détailler, parceque pr moi le théorème du gendarme c'est l'habituel

g(x) < f(x) < h(x) lim g(x) = lim h(x) = l d'ou lim f(x) = l

et la je vois pas trop comment o npeut appliquer ce théorème :/, je suis un peu 2 tens

ah part si c'est le truc que j'ai écrit en dessous, mais chais pas si c'est correct

Ex-voto · 19/02/2006, 00h28

Citation :

Publié par jaimebbali

Tu pourrais détailler, parceque pr moi le théorème du gendarme c'est l'habituel

g(x) < f(x) < h(x) lim g(x) = lim h(x) = l d'ou lim f(x) = l

et la je vois pas trop comment o npeut appliquer ce théorème :/, je suis un peu 2 tens ah part si c'est le truc que j'ai écrit en dessous, mais chais pas si c'est correct

Une valeur absolue c'est forcément positif, donc ta fonction "g" c'est la fonction nulle.

du coup tu as : 0 < |x sin(1/x)| < |x|

jaimebbali · 19/02/2006, 00h32

Ah parfait !!!!!!! Je vois maintenant, merci beaucoup voto.

Ce post peut-être fermé.

Aiina · 19/02/2006, 02h17

Comme dirait mon prof de math, le théorème des gendarmes, ils aiment bien ça à St tropez... :'<

almarion · 19/02/2006, 08h05

pour répondre au plus simple tu as :

0 x (un truc qui varie entre -1 et 1)

donc 0

si tu veux appliquer le théorème d'encadrement et histoire de rédiger un petit peu :

-1 < sin X < 1
a(-1) < a(sinX) < a(1) quelque soit "a" et "X" dans R
-a < a(sinX) < a
et donc
|a(sinX)| < |a|

ce qu'il faut voir c'est que le sin est une fonction périodique bornée

pour ton problème limx->0 ; xsin(1/x) = 0

Kathar - Alleria - Lango · 19/02/2006, 10h52

Citation :

Publié par jaimebbali

xsin(1/x) lorsque x --> 0 ? Et dire que c'est 0 car lim x = 0 et lim sin (1/x) est compris entre -1 et 1 oO, dc ?

Alors déjà, sin (1/x) n'admet pas de limite en 0, donc tu ne peux pas dire «lim sin (1/x) est compris entre -1 et 1».

Ensuite, le produit d'une fonction qui tend vers 0 par une fonction bornée tend vers 0.

Seulement, en maths, «il me semble», ça ne prouve rien. Je peux me tromper, ça arrive souvent les trucs contre-intuitifs.
La seule manière de démontrer un truc, c'est d'utiliser un raisonnement logique, et éventuellement un théorème déjà démontré.

Donc, si tu as déjà démontré que le produit d'une fonction qui tend vers 0 par une fonction bornée tend vers 0, tu peux l'utiliser pour montrer le bon résultat.
Si ce n'est pas le cas, il faut soit le démontrer avant de l'appliquer, soit utiliser un autre théorème, par exemple celui des gendarmes.
À noter que ce théorème est relativement évident à démontrer à partir du théorème des gendarmes

TMQT · 19/02/2006, 11h52

Citation :

Publié par jaimebbali

Je sais que mon post n'est pas très clair, mais je voudrais en fait savoir comment on calcule

lim x->0 de xsin(1/x)

Tu poses y = 1 / x. Tu dois donc calculer lim siny / y quand y -> inf (+ ou -, c'est égal). Ca vaut zéro car sin(y) est borné (entre -1 et 1) et le quotient d'une quantité bornée par une qui tend vers inf tend clairement vers 0...

Alexie · 20/02/2006, 20h29

sinon y a le dévelopement limité mais pas sur que ça se voit en term ^^

tapu · 21/02/2006, 13h30

Il faudrait parler ici de developpement asymptotique
car sin(1/x) -> infini quand x -> 0
~ Maths sup/1ère année de fac

harermuir · 21/02/2006, 13h33

Citation :

Publié par tapu

Il faudrait parler ici de developpement asymptotique
car sin(1/x) -> infini quand x -> 0
~ Maths sup/1ère année de fac

Dans les très mauvaises fac et maths sup alors, parce que c'est faux, la fonction n'a pas de limite en 0. Et un sin qui tends vers l'infini, il faudra que tu me le présentes.

TMQT · 21/02/2006, 13h33

Citation :

Publié par tapu

Il faudrait parler ici de developpement asymptotique
car sin(1/x) -> infini quand x -> 0
~ Maths sup/1ère année de fac

Et niveau première : sin(1/x) est borné et ne peut donc pas tendre vers l'infini

Tu voulais dire 1/x -> inf je pense

Edit : tu me paieras ce burn

**Mardil** · 21/02/2006, 14h07

Citation :

Publié par harermuir

Dans les très mauvaises fac et maths sup alors, parce que c'est faux, la fonction n'a pas de limite en 0. Et un sin qui tends vers l'infini, il faudra que tu me le présentes.

-i.sin(ix) quand x->infini.

BOooïïng!! · 21/02/2006, 14h22

Je m'achète 5 pommes, si j'en mange une, combien en reste t-il ?

Question conne, squoi la théorie du gendarme ?

En clair et en simplifié* hein

!!

*Version littéraire, pas la formule

Septimus · 21/02/2006, 15h35

Le théorème des gendarmes énonce que quand une fonction est bornée par deux fonctions qui admettent la même limite, alors la fonction bornée a pour limite la même limite que les deux autres fonctions.

L'exemple typique est celui de la fonction sin(x)/x qui est bornée par -1/x et 1/x et qui tend vers 0 a l'infini.

**Mardil** · 21/02/2006, 15h43

Citation :

Publié par nash-har

Je m'achète 5 pommes, si j'en mange une, combien en reste t-il ?
Question conne, squoi la théorie du gendarme ?

En clair et en simplifié* hein !!

*Version littéraire, pas la formule

Le théorème du gendarme dit que quand tu es entre deux gendarmes qui vont au même endroit, alors, tu risques fort de te retrouver à l'endroit où ils vont.

BOooïïng!! · 21/02/2006, 15h49

Citation :

Publié par Mardil

Le théorème du gendarme dit que quand tu es entre deux gendarmes qui vont au même endroit, alors, tu risques fort de te retrouver à l'endroit où ils vont.

Mici, j'ai compris

.
Merci aussi Septimus, mais ton explication est plus complexe ^^.

*s'en va manger une pomme*

Alexie · 21/02/2006, 15h51

Citation :

Publié par almarion

pour répondre au plus simple tu as :

0 x (un truc qui varie entre -1 et 1)

donc 0

si tu veux appliquer le théorème d'encadrement et histoire de rédiger un petit peu :

-1 < sin X < 1
a(-1) < a(sinX) < a(1) quelque soit "a" et "X" dans R+*
-a < a(sinX) < a
et donc
|a(sinX)| < |a|

ce qu'il faut voir c'est que le sin est une fonction périodique bornée

pour ton problème limx->0 ; xsin(1/x) = 0

si a = -2 par exemple on a :

2 < -2sinX < -2 donc c'est dans R+*

jaimebbali Légende	Ah parfait !!!!!!! Je vois maintenant, merci beaucoup voto. Ce post peut-être fermé.
19/02/2006, 00h32

Aiina Alpha & Oméga	Comme dirait mon prof de math, le théorème des gendarmes, ils aiment bien ça à St tropez... :'<
19/02/2006, 02h17

TMQT	Citation : Publié par jaimebbali Je sais que mon post n'est pas très clair, mais je voudrais en fait savoir comment on calcule lim x->0 de xsin(1/x) Tu poses y = 1 / x. Tu dois donc calculer lim siny / y quand y -> inf (+ ou -, c'est égal). Ca vaut zéro car sin(y) est borné (entre -1 et 1) et le quotient d'une quantité bornée par une qui tend vers inf tend clairement vers 0...
19/02/2006, 11h52

Alexie Alpha & Oméga	sinon y a le dévelopement limité mais pas sur que ça se voit en term ^^
20/02/2006, 20h29

tapu Bagnard	Il faudrait parler ici de developpement asymptotique car sin(1/x) -> infini quand x -> 0 ~ Maths sup/1ère année de fac
21/02/2006, 13h30

harermuir Alpha & Oméga	Citation : Publié par tapu Il faudrait parler ici de developpement asymptotique car sin(1/x) -> infini quand x -> 0 ~ Maths sup/1ère année de fac Dans les très mauvaises fac et maths sup alors, parce que c'est faux, la fonction n'a pas de limite en 0. Et un sin qui tends vers l'infini, il faudra que tu me le présentes.
21/02/2006, 13h33

Mardil	Citation : Publié par harermuir Dans les très mauvaises fac et maths sup alors, parce que c'est faux, la fonction n'a pas de limite en 0. Et un sin qui tends vers l'infini, il faudra que tu me le présentes. -i.sin(ix) quand x->infini.
21/02/2006, 14h07

BOooïïng!! Alpha & Oméga	Je m'achète 5 pommes, si j'en mange une, combien en reste t-il ? Question conne, squoi la théorie du gendarme ? En clair et en simplifié* hein !! *Version littéraire, pas la formule
21/02/2006, 14h22

Septimus Alpha & Oméga	Le théorème des gendarmes énonce que quand une fonction est bornée par deux fonctions qui admettent la même limite, alors la fonction bornée a pour limite la même limite que les deux autres fonctions. L'exemple typique est celui de la fonction sin(x)/x qui est bornée par -1/x et 1/x et qui tend vers 0 a l'infini.
21/02/2006, 15h35

Mardil	Citation : Publié par nash-har Je m'achète 5 pommes, si j'en mange une, combien en reste t-il ? Question conne, squoi la théorie du gendarme ? En clair et en simplifié* hein !! *Version littéraire, pas la formule Le théorème du gendarme dit que quand tu es entre deux gendarmes qui vont au même endroit, alors, tu risques fort de te retrouver à l'endroit où ils vont.
21/02/2006, 15h43

BOooïïng!! Alpha & Oméga	Citation : Publié par Mardil Le théorème du gendarme dit que quand tu es entre deux gendarmes qui vont au même endroit, alors, tu risques fort de te retrouver à l'endroit où ils vont. Mici, j'ai compris . Merci aussi Septimus, mais ton explication est plus complexe ^^. s'en va manger une pomme
21/02/2006, 15h49

[maths TS] Une petite question ! :D

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