Cette question était sérieuse à la base, pourquoi n'était-elle pas sur la taverne ?
La raison de la question que tu poses est plutôt simple en fait : nul besoin de démonstration. Un peu d'histoire. Je fais rapide, donc non formel, donc pas facile à comprendre :
Au début était le nombre naturel : 0,1,2,...
(en fait, au début étaient les axiomes de Zermelo - Fraenkel qui ont permis de construire cet « ensemble »)
Ensuite, après avoir posé des règles de multiplication et d'addition là-dessus (facile : n+1 c'est le successeur de n, n+2 le successeur du successeur de n, etc..., on utilise l'addition pour obtenir la multiplication), on est passé aux nombres relatifs. Comment ? C'est simple : on considère toutes les droites de pente 1, donc parallèles, et uniquement celles qui passent par les points à coordonnées entières. Les 'diagonales', quoi.
A chacune de ces droites, on peut associer un point particulier : celui de l'intersection avec la droite x = 0. En fait, on représente toute une famille de couples de naturels (1,2), (2,3) par exemple, qui sont sur une même droite, par un unique point. C'est ce qu'on appelle jargonisement parlant quotienter par une relation d'équivalence. On étend nos lois grâce à ça.
Et on obtient Z.
Mais le mathématicien, il en veut plus !
Alors qu'est ce qu'il fait. Eh bien il va quotienter de nouveau. Il prend tous les couples de nombres relatifs (a,b) où b n'est pas nul. Et il va dire que (1,2) et (2,4) sont équivalents, par exemple. De même que (2,4) et (3,6) seront équivalents (et donc (1,2) et (3,6) seront équivalents).
Ensuite, il va prendre un représentant de chacune de ces familles arbitrairement créées, et imposer cette loi sur ces représentants. En vérifiant d'ailleurs au passage que ces lois sont bien définies, ce qui signifie qu'elles ne dépendent pas des représentants. En d'autres termes, que (1,2)*(8,7) = (2,4)*(16,14) par exemple.
Cette construction, la toute dernière, se nomme la construction du corps des fractions de Z, est fondamentale en algèbre, et se calque sur tout anneau intègre, qui est une structure algébrique particulière, qui ressemble un peu à Z (enfin Z en est un, quoi).
Enfin bon, voilà ce qu'il faut retenir :
C'est pas à démontrer : c'est défini comme ça, les fractions ça sort pas de nulle part
Vilain Lango, qui pensait posséder son auditoire. Mais Soir veille