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Alpha & Oméga
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Construction bizarre quand même , je parie que c'est un grec qui a sorti ça ! Citation :
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24/08/2003, 23h28
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La règle la plus simple de calcul de fraction
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Google est ton ami : je pense qu'une recherche avec les mots suivants : « Zermelo Fraenkel Axiome du Choix » te ramènera plein de chouette pages web.
De plus, la littérature usuelle regorge de ce genre de choses. Je vais regarder si j'ai pas un petit pdf là-dessus, je te dis dans quelques jours  Edit pour Landstalker : Pour les axiomes tu as tout à fait raison. Les axiomes de base de la théorie des ensembles se nomment axiomes de Zermelo - Fraenkel, auquel on adjoint généralement l'axiome du choix. Ils fixent l'existence d'une collection d'objets, appellés ensembles (et qui ne sont pas la notion naive d'ensembles, pour désigner ces derniers on préfère l'appellation de collection, qui prête moins à confusion), et qui peuvent être liés entre eux par une relation d'appartenance. De plus, ils fixent l'existence de certains ensembles (par exemple l'ensemble appellé vide, nommé disons 0 et un ensemble infini), et permettent la construction de nouveaux ensembles à partir de ceux-ci. Avec ces axiomes, on construit les ensembles suivants, entre autres à l'aide de la réunion : 0, {0}, {0,{0}}, {0,{0},{0,{0}}},... avec une correspondance générale donnée de la manière suivante : étant donné un ensemble n de la liste, son successeur est nU{n}. On a le droit à ce stade d'introduire une écriture pour désigner ce successeur. On va le noter n+1. Un tel ensemble se nomme un ordinal fini, et l'axiome de l'infini garantit l'existence d'un plus petit ensemble contenant tous les ordinaux finis. On le nomme ensemble des entiers naturels, et on le désigne par la lettre IN. On trouve ensuite une écriture (en fait une base de numération) pour représenter ses éléments, qui sont les ensembles de la suite ci-dessus : 0,1,2,3,... On a une relation d'ordre dessus, donnée par n <= m ssi n appartient à m. Grâce à ce bon ordre, on introduit une notion qui se nomme le principe d'induction, et qui est un poil technique à décrire proprement ici. Ce principe d'induction permet de définir récursivement l'addition comme je l'ai dit avant, de même que la multiplication, de la manière suivante : n + k = (n + (k-1))+1, n + 0 = n n * k = n + (k-1)*n si k>0 et 0*n = 0 (  )Tout ça n'est pas si évident, on *sent* bien que le principe d'induction va imposer que n+1 est "uniquement déterminé" (ou plutôt que ces applications sont bien définies, bref, c'est en fait le point central). Bref, tout cela est très formel, totalement axiomatisé, de manière à avoir une cohérence maximale. C'était nécessaire, essentiellement pour clarifier la notion 'naive' d'ensembles, qui aboutissait à des contradictions (par exemple, l'une découverte par le philosophe et mathématicien anglais Bertrand RUSSEL). Bon, j'arrête là, j'en vois qui baillent au fond Amicalement, Maman PS : Landstalker, c'est pour le jeu sur MegaDrive ? |
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24/08/2003, 23h28
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Alpha & Oméga
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Pour info, tout ne se démontre pas.
A la base, il y a les axiomes qui sont admis. |
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25/08/2003, 00h43
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Tamaman... hmm presque une heure du mat, et tu m'as vraiment compliqué les choses, toi ! J'y réfléchirai demain. |
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25/08/2003, 00h50
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Alpha & Oméga
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25/08/2003, 01h17
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Alpha & Oméga
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 ( Je pense comme Prune )Citation :
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25/08/2003, 04h26
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Citation :
)(et puis ce n'est pas vraiment au sens de « conjecturer », c'est plutôt e demander ce qu'il y a derrière tout ça, en fait) |
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25/08/2003, 08h43
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Alpha & Oméga
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Je ne suis pas tout a fait d'accord sur l'indemontrabilité de tout, ne serait-ce qu'a cause des mathematiques grecques et de l'abscence du 0 : Les grecques ont beaucoup apportées aux mathematiques, mais sans jamais créer de valeur nulle. Or, tu prend pour Axiome cette valeur nulle. Cet Axiome est tardif, si tu veux : je suis d'accord qu'il n'est pas a démontrer mais a accepter, ceci etant, le terme d'axiome est à relativiser, quand on sait qu'il n'en a pas toujours été de même...
(mais bon, je chipotte, je chipotte, mais je suis d'accord sur la non necessité de demontrer ac/b = a*c/b ...) |
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25/08/2003, 09h53
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Ce qu'on entend par absence du zéro n'est que l'absence du symbole, pas de la notion. Avant, on laissait un blanc, ou procédé assimilé (par exemple chez les Mésopotamiens), ce qui entraînait des confusions.
Pour la petite histoire, il y a un théorème dû à Gödel, que je saurais bien incapable de démontrer, qui dit en substance que toute théorie riche et dense contient au moins une proposition non démontrable au sein de la théorie elle-même. |
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25/08/2003, 11h21
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Alpha & Oméga
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Citation :
PS : pour le 0, je sais bien cela, je dis juste que le "Pan, c'est un axiome dans tes dents", c'est pas super constructif, alors que à priori, le sujet (posté a fortiori au bar) est plus là pour theoriser et laisser la part belle a la rethorique... enfin, je crois.
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25/08/2003, 11h36
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[APDW]
Alpha & Oméga
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*souffre d'une migraine atroce après avoir essayé de comprendre*
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25/08/2003, 11h55
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Alpha & Oméga
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Ouais bah 0 + 0 = la tête à Toto.
Et personne n'a cité ce théorême si classique pourtant!  Bah quoi, on est sur le bar non?
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25/08/2003, 11h56
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Bon, d’abord, précisons les choses :
Citation :
Ceux qui disent que « c’est évident » ou bien « il n’y a pas besoin de le démontrer », je ferai la même réponse que plus haut : j’espère que vous n’êtes pas profs. Parce qu’avec des réactions pareilles, ça fait des échecs assurés. Est-ce que la réponse de Lango me satisfait ? Oui. Tout simplement parce que je la comprends, et que désormais j’ai une preuve que la règle fonctionne. Les explications « visuelles » à la Cyriane m’intéressent aussi, je suis quelqu’un de très visuel, et je soupçonne que c’est une des raisons de mes difficultés avec les maths. Citation :
Citation :
[QUOTE]Provient du message de tamamanquitaime Et on obtient Z. Bon, tu vas me dire qu’on peut pas dessiner, ici, mais avec un dessin, sans doute que j’aurai compris. Là, je « vois » pas tes droites. Tu n’as pas un lien avec le dessin ?
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25/08/2003, 12h57
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Je n'ai pas de dessin sous la main (enfin j'ai surtout la flemme de chercher), mais c'est simple à visualiser : tu prends une feuille quadrillée, du modèle courant (avec des carrés, pas des rectangles
).Tu traces deux droites, perpendiculaires, qui se coupent vers le milieu de la feuille. Tu obtiens un truc du genre : Code:
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Tu as en fait un moyen de repérer des points : "en haut à droite", etc... En fait, les points du quadrillage qui appartiennent à la droite de la droite horizontale sont les entiers, de même que ceux qui sont en haut de la droite verticale. Tu seras d'accord si je te dis que tu peux les représenter par des couples de coordonnées : le point du milieu est (0,0), mais tu as juste à droite (1,0), juste en haut (0,1), etc... Eh bien tu prends la droite qui passe à la fois par (0,0) et par (1,1), et tu obtiens une droite de pente 1. Une droite de pente 2, par exemple, ça aurait été (0,0) puis (1,2). En prenant toutes les droites parallèles avec la première donnée, qui passent par les points "entier" (du quadrillage), tu obtiens visuellement ce que je voulais dire. En fait, tout ceci est la version visuelle et non rigoureuse d'un travail un peu plus profond, qui consiste à prendre NxN (l'ensemble des couples), à étendre l'addition et la multiplication dessus de manière "propre", à établir une relation d'équivalence entre ces couples : (n,m)~(n',m') ssi sont sur la même droite - relation que tu pourras exprimer algébriquement toi-même très facilement - puis ensuite à définir un nouvel ensemble, qui serait celui qui précède réduit, au sens que tout ceux qui étaient équivalents sont maintenant considérés comme égaux (on a pris des représentants de ce que l'on appelle les classes d'équivalence), puis à définir à l'aide des lois sur NxN les lois sur cet ensemble, que je note NxN/~, et qu'on renomme vite Z parce que cette écriture est moche On fait en sorte que nos lois soient "bien définies", i.e. qu'elles ne dépendent que des classes et non pas des représentants, pour des raisons évidentes : si x= y et x' = y', on a tout intérêt à ce que x+y = x'+y', ce qui était vrai sur N, sur NxN, mais qui ne l'est pas forcément sur NxN/~ (=Z). Jusqu'à maintenant, Z, c'est simplement l'ensemble des droites de pente 1, à coordonnées dans N, qui peuvent chacune être déterminées univoquement par leur intersection avec les axes (il suffit d'un point et d'une pente pour définir entièrement une droite, tu seras d'accord avec ça). Ensuite, et seulement ensuite, on va montrer que Z contient d'une certaine manière N, c'est à dire qu'à chaque élément de N on peut faire correspondre un et un seul élément de Z. Amicalement, Maman |
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25/08/2003, 14h56
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[VdW]
Oracle
![Avatar de [mid/ys] Vynnea](http://jolstatic.fr/forums/customavatars/avatar26627_1.gif){kind=avatar}
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Citation :
en effet il faut partir des definitions des opérations dans l'ensemble des fractions d'entiers naturels |
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25/08/2003, 18h11
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Alpha & Oméga
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Citation :
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25/08/2003, 23h11
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Alpha & Oméga
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*pleure*
J'adore tes explication tamaman C'est hyper rare de voir un truc aussi bien expliqué Franchement j'aime ^^ Encore ! Explique moi la création des autres ensembles comme ca ti te plait
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26/08/2003, 01h20
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Citation :
Citation :
Mais… heu... Je ne comprends pas comment cela répond à ma question du début. Je dois être bouché, sans doute au moins un ‘ti peu  . Mais bon… Ne te sens pas obligé de répondre, tu as déjà beaucoup fait, ici, pour enrichir mon savoir mathématique, et je t’en remercie, comme je remercie Lango et tous ceux qui m’ont éclairé  .Citation :
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26/08/2003, 11h55
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 Je ne vois pas trop ce que je peux expliquer d'autre. L'ensembl e des nombres réèls, ainsi que celui des complexes (et toutes les extensions de corps) ? Pour le premier, je veux bien le faire (pas tout de suite, je trouverai un moment ), mais les deux autres, si je dois les faire formellement, ça nécessite pas mal de connaissances algébriques  Je vais tenter Je vais tenter de faire ça proprement et tout et tout, mais encore une fois, c'est pas pour tout de suite
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26/08/2003, 17h08
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Alpha & Oméga
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Vivi les réels, complexe etc si t'as le temps
En fait c'est surtout pour le plaisir de la lecture J'ai je pense un petit peu de connaissances (pas encore beaucoup mais bon ) et que je pourrais comprendre Pis je trouve ca hyper interessant
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26/08/2003, 17h17
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