[jaimebbali]

Bonjour ,

Je suis donc en TS spé maths et j'ai un devoir à la maison à faire mais je bloque à un endroit. Je vous énonce le sujet :

" Le mobilier d'une bibliothèque municipale doit être changé pour contenir au moins 4400 livres de petit format et 2600 livres de grand format.
Un premier fournisseur propose des meubles de type A pouvant contenir 110 livres de petit format et 100 livers de grand format pour un prix de 400 euro.
Un deuxième fournisseur propose des meubles de type B pouvant contenir 220 livres de petit format et 100 livres de grand format pour un prix de 600 euro.
Par ailleurs, le responsable de la bibliothèque a pour consigne de ne passer aucune commande supérieure à 9600 euro chez un même fournisseur.

Determine le nombre de meubles à commander chez chacun des fournisseurs pour que la édpense soit minimale en pércisant la méthode utilisée. Quelle est alors la dépense en euro ?"

Donc je vous explique ma démarche.
Je pose x : meubles detype A à commander
et y : meubles de type B à commander.

J'obtiens le système suivant

x + 2y >= 40
x+ y >= 26
x =< 24 y=< 26
x et y sont des entiers naturels.

J'ai donc tracé les 4 droites déquationrespectives :

d1 : y = -0.5 x + 20
d2 : y = -x + 26
d3 : y = 16
d4 : x = 24

j'obtiens donc dans un repère un ensemble de points délimités par ces 4 droites qui est l'ensemble dse solutions du système, mais je cherche le couple (x,y) tel que la dépense d soit optimale, j'ai trouvé le point A (12,14) d'intersection des droites d1 et d2
Je sais que c'est la solution du devoir mais comment prouver que c'est l'intersection des 2 droites d1 et d2 qui est le budget optimal ?

merci d'avance

[kermo]

Essaie d'exprimer en fonction de x et y ce que tu veux minimiser, ensuite plutôt que chercher à justifier que c'est à l'intersection des deux droites, regarde ce que tu peux faire de la dernière ligne de ton système, que tu n'as pas encore utilisée

[jaimebbali]

bah je veux minimiser les dépenses donc je peux prendre une 5e droite

soit d la droite des dépenses

d = 400x + 600 y

y = -2/3 x + d/600 mais je vois pas l'intêret en fait de cette droite :/ enfin on a jamais vu d'exo comme ca en TS. Sinon je peux me servir du fait que x et y sont des naturels donc des points de mon quadrillage, mais il y en a du genre une douzaine et ma prof de maths est du genre plutôt sévère sur le "raisonnement mathématiques" et si je calcule la dépense pour tous les couplets de l'ensemble de solution, elle me comptera 0 et me dira que si il y avait eu 200 points j'aurais pas pu le faire.
Enfin bon merci kermo

[lezebulon]

C'est les équation diophantiennes ça ou je dis de la merde comme toujours avec ce compte ??

[jaimebbali]

on les a pas vu, et je sais pas si les inéquations diophantiennes ca existent

[Albert]

Me MP en cas de contestation.

[Galin]

C'est un problème de simplex en 2D. tu peux le resoudre graphiquement tu rajoute une droite définie par la fonction d'optimisation et tu prend ta règle pour trouver une parallele qui optimise cette fonction. la solution est forcement un point du polygone définie par les droites correspondant a tes inéquations.

[Meleas / Nandill]

Ils ont changé le programme de spé math depuis l'année derniere ?...

[kermo]

Citation :

Publié par jaimebbali

Sinon je peux me servir du fait que x et y sont des naturels donc des points de mon quadrillage

Exactement ce que je voulais dire

A mon avis c'est ce qui convient le mieux à cet exercice : le polygone délimité par les 4 droites ne contient pas énormément de points dont les coordonnées sont des entiers, il suffit donc pour chaque point de calculer le prix correspondant (ton d = 400x+600y), et de sélectionner le point qui correspond au plus petit prix.
Auparavant, avec une petite étape de raisonnement supplémentaire tu peux trouver que le point solution correspondra forcément à un x minimum ou à un y minimum ce qui réduit pas mal le nombre de points à examiner : en gros sur chaque ligne horizontale, le seul point pouvant être solution est celui avec le plus petit x et sur chaque ligne verticale c'est celui avec le plus petit y.
Au sujet du nombre de points, le but c'est de trouver le résultat de cet exo-là. Si la prof pose un autre avec 200 points ça vaudra peut-être le coup de chercher une autre façon de résoudre mais en attendant pour celui-ci c'est ça le plus simple.

C'est bien une équation diophantienne mais ça n'aide pas beaucoup à résoudre le problème.

[jaimebbali]

ok merci beaucoup, ca donne 9 points, je pense que je vais adopter cette méthode, encore merci kermo je t'

[Galin]

Pour info voila un petit applet en ligne qui resout ce genre de problème dans le cas ou les solutions sont des reéls.

http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/...mplexTool.html

Le nombre de contraintes c'est ton nombre d'inéquation.
La première ligne c'est ta fonction de maximisation.

[Kaydarine]

Bizarre de donner cela à des TS

Perso je fais ça dans un cour nommé Etude de cas en recherche opérationnelle.

Merci pour le lien vers simplex en java d'ailleurs

[Melchiorus]

Citation :

Publié par jaimebbali

bah je veux minimiser les dépenses donc je peux prendre une 5e droite

soit d la droite des dépenses

d = 400x + 600 y

y = -2/3 x + d/600 mais je vois pas l'intêret en fait de cette droite :/

Ca veut dire qu'il faut que tu regardes les droites de type y=-2/3*x+c qui ont au moins un point d'intersection avec la zone solution et tu dois choisir la droite avec le plus petit c.
Le ou les points d'intersection seront les points qui minimisent la dépense.

[Brianos]

Eh bien j'espère que les réponses qui t'ont été données t'auront satisfait !

Ah oui, décidément, les maths, c'est pas drôle tous les jours...