[Kam']

Salut les matheux. Je suis en plein dans mes révisions d'analyse et y'a un truc que je pige pas dans le théorème des résidus.
Quand on intègre une fonction holomorphe sur le bord d'un domaine, on fait 2pi*i fois la somme des résidus dans le domaine, hop c'est bidon c'est cool.

Alors pourquoi dans cet exemple là, qui est le corrigé du prof pour une série d'exos, il prend 0, pi et -pi comme singularités?



Y'en a aucun des trois qui est dans la couronne. C'est comme si il considérait qu'en fait la couronne est juste un disque de rayon 2pi et il résout tout comme ça. Mais on a le droit de faire ça? J'ai demandé à un assistant aujourd'hui il m'a dit que le prof avait du se planter mais ce prof ne se plante jamais donc je suis un peu circonspect.

Du coup dans cet exemple là, qui n'a pas de correction parce que c'est un entraînement pour l'examen, j'ai fait ça :








C'est la même méthode que celle du prof et je trouve un truc plus ou moins logique (enfin c'est pas trop moche quoi, donc on va dire que ça doit être ça), mais je comprends pas pourquoi c'est ça la méthode, alors que là les trois singularités sont pas dans la putain de couronne.

Et enfin question bonus, quelqu'un saurait comment faire ça? Je sens qu'il y a un piège et qu'il faut transformer la fonction mais je vois pas trop en quoi.



Merci les copains.

Modéré par Fio'

[Kam']

Modéré par Fio'

[Melchiorus]

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...3.89nonc.C3.A9

Je pense qu'il y a une erreur dans ta première image.
Les coefficients sont obtenus en intégrant sur n'importe quel cercle de centre 0 et tracé dans la couronne et pas en intégrant sur la couronne.

[Kam']

Citation :

Publié par Melchiorus

http://fr.wikipedia.org/wiki/S%C3%A9...3.89nonc.C3.A9

Je pense qu'il y a une erreur dans ta première image.
Les coefficients sont obtenus en intégrant sur n'importe quel cercle de centre 0 et tracé dans la couronne et pas en intégrant sur la couronne.

Ah bah j'ai pas eu le réflexe Wikipédia, merci beaucoup !

[Melchiorus]

Pour la question bonus c'est probablement une décomposition comme celle-ci qu'il faut faire :

SI tu connais la transformée de Fourier des fonctions de la forme 1/(ix+a) et 1/(ix-a) (avec a>0) alors tu dois pouvoir conclure.
(Ou alors si tu connais la transformée de Fourier des fonctions de la forme 1/(x²+a²) tu dois pouvoir conclure encore plus rapidement)

[Kam']

Pour le bonus j'ai pas pigé grand chose à ton idée avec les ix qui apparaissent, ça m'a pas l'air hyper opti comme méthode. Par contre ouais, la transformée de Fourier de 1/(x²+a²) je la connais, du coup effectivement une fois que c'est séparé avec x²+1 et x²+4 ça devrait le faire.
Tu gères, merci encore !

[Melchiorus]

Citation :

Publié par Kam'

Pour le bonus j'ai pas pigé grand chose à ton idée avec les ix qui apparaissent, ça m'a pas l'air hyper opti comme méthode.

C'est plus ou moins une décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle (c'est le cas général).
Or pour ta fonction on tombe sur du 1/(x²+a²) et on n'a donc pas besoin d'aller jusque là, mais c'était probablement voulu par l'auteur de ton exercice (c'est donc un cas particulier).

[Nitneuq]

Ah oui merde, pour le dernier exo, je l'avais le truc. J'ai complètement oublié de te le dire.

C'est effectivement une décomposition en élément simple. Et oui, la décomposition sur R est suffisante. D'ailleurs Kam' si tu connaissais pas je t'invite à aller voir, parce que c'est mega-utile dans les calcul d'intégrale.
Et décomposer, c'est pas hyper compliqué. (Surtout si tu sais diviser selon les puissances croissantes)

Tout ca pour dire que je t'ai dit encore plus de vide que je ne pensais t'en dire.

Edit : En revanche, vu le contexte, je me suis demandé s'il ne fallait pas utiliser tout de même une méthode de résidus.

[Kam']

En general on résout avec des développements limités, du coup la j'étais un peu perdu. Mais merci en tout cas !

[Kam']

Encore une petite question.

Dans la question a), le cercle étudié est de rayon plus petit que 1, donc les pôles de ak (en fait le pôle, qui est juste 1) ne sont pas dedans. Du coup les ak vaudront toujours 0 puisque il n'y a pas de résidus? Je suis un peu largué là.

Et dans la question b) cette fois le résidu est inclus donc je pense pouvoir me débrouiller.

edit : ah merde y'a aussi 0 comme pôle, je suis un peu claqué.

Je vais bouffer et j'essaie de trouver comment faire.

[Mabas]

[Modéré par Kocinsky : ne le fais pas, laissons Kam rater son année ]