[Arakasi]

Bonjour tout le monde, voilà, j'ai un problème en math, pourriez vous m'aider ?

Soit l'équation : x^3+px+q=0

Ecrire le tableau de variation de f suivant p (j'ai trouvé ça, 1 solution si p>0. 1,2,3 solutions si p<0)

Puis, le problème : En déduire que l'équation admet 3 solution distinctes si et seulement si 4p^3+27q²<0

Je suis totalement perdu ici, je sais qu'il faut un p négatif, mais c'est tout.

Merci

[Gal]

Pour moi : Décomposition en élements simples.

Tu as trouvé que tu avais au moins plus d'une solution si p<0 donc on prend p<0 pour tes trois solutions distinctes. Appelons une solution remarquable : w.

Tu as donc :

x^3+px+q=(x-w) (ax²+bx+c) avec a,b,c, des constantes

Tu re développes ton truc à droite pour trouver a,b,c en fonction de p et q.

Ensuite, tu fais ton delta et tu trouveras ton <0.


Je pense qu'il faut faire comme ça.

[Deaks]

Bien je viens un peu de me pencher sur l'exercice :

Tout d'abord pour ta premiere partie, il me semble qu'il faut preciser encore certaines petites choses. Il y a des choses juste, mais pas completement. Je vais tenter un peu de te mettre sur la voie.

1) - Lorsque tu désires calculer ton tableau de variation, as tu fais attention aux cas spéciaux ? tu parles du cas p < 0 et celui de p > 0, n en manque t il pas un ?

- Dans quel cas peut on avoir 2 solutions uniquement ? est ce que ce cas est vraiment possible ? ( toujours en utilisant le calcul de ta dérivée )

2) pour le second petit probleme, il faut d abord voir que la question demande deux réponses : les deux sens de l'equivalence, donc ca se résume à :

a) Si tu as 3 solutions ====> montrer que 4p^3+27q²<0

b) Si 4p^3+27q²<0 ====> tu trouveras forcement trois solutions

et comme tu as dit, il faut bien utiliser uniquement ce que tu as trouvé au 1)

J espere que j'ai pu un peu t'aider, je relirais le post de temps en temps si t as des questions mais a 17h je ne pourrais plus. Voila, bon boulot

Edit : et bien bravo, et de rien pour les réponses, ce fut un plaisir de replonger un peu dans les maths

[Gal]

Ou alors, à la différence de ma première réponse, joue avec la propriété que si alpha est solution double d'un polynôme P(x), alors alpha est solution de P'(x), dérivée première de P(x).

[Edit] : Ok t'u as trouvé .

[Arakasi]

ok, merci beaucoup de vos réponses, j'ai réussi à trouver

[Tifs]

Quand p est strictement négatif, ta fonction passe par un maximum local puis par un minimum local. Ecris qu'il y a trois solutions si et seulement si le premier est strictement positif et le second strictement négatif.

[Deaks]

Citation :

Publié par Tifs

Quand p est strictement négatif, ta fonction passe par un maximum local puis par un minimum local. Ecris qu'il y a trois solutions si et seulement si le premier est strictement positif et le second strictement négatif.

à partitr du moment où il y aura le deux solutions dans la dérivée, comme x est au carré, il y aura forcement une valeur négative et une valeur positive.

3*x^2 + p = 0 donc ca donerait alors pour p < 0

x = racine carré ( p / 3 ) et - racine carré ( p / 3 )

disons je ne vois pas trop en quoi ca fait avancer le schmilblick dans ce cas précis cette petite indication.

[Drachen]

Citation :

Publié par Deaks

disons je ne vois pas trop en quoi ca fait avancer le schmilblick dans ce cas précis cette petite indication.

Je pense qu'il voulait dire qu'il fallait écrire que l'image (par la fonction) des deux racines de la dérivée doivent avoir des signes différents (la première doit être strictement positive et la seconde strictement négative).

[cricri]

la demo complete du celebre Cardan (1501-1576)

http://perso.orange.fr/alain.pichereau/equation45.html

on a un truc plus ou moins pareil pour les equations de 4 eme degree
apres 5 6 etc ca ete demontre il n existe aucune formule

[Tifs]

Citation :

Publié par Drachen

Je pense qu'il voulait dire qu'il fallait écrire que l'image (par la fonction) des deux racines de la dérivée doivent avoir des signes différents (la première doit être strictement positive et la seconde strictement négative).

Exactement ! Quand on dit que la fonction f passe par un maximum en a, le maximum, c'est f ( a ).

Je fais faire avancer le schmilblick un peu plus : tu veux que la valeur A de f en
-sqrt ( -p/3 ) soit strictement positive et celle, B, en sqrt ( -p/3 ) ( j'utilise sqrt pour racine carrée ) soit strictement négative.

L'étude de variation de f te disant que, de toutes façons, A > B, cela revient à demander que A et B soient de signes contraires, c'est-à-dire que leur produit soit négatif !