[Nitneuq]

ya pas un rapport entre la theorie des groupes et le rubik's cube ?????

je suis a fond rubik's la ( je le fini sans generateur devant les yeux..... bon en 3-4 min mais bon.....)

[Melchiorus]

[edit car bétises]

[MiaJong]

Rubik's Cube et mathématiques ici :

http://trucsmaths.free.fr/rubik.htm

Pour le problème initial : ouch, bah j'ai perdu mon niveau moi. La vache, ça fait mal de s'en rendre compte

[TMQT]

Je suis pas un algébriste, mais je partirais sur la conjugaison : pour g dans G, on définit psi_g par psi_g(h) = ghg^{-1}. C'est clair que psi_g est un automorphisme de G, et il faut montrer que psi_g(h) = h pour tout h.

Maintenant, Aut(g) est cyclique, donc il existe un automorphisme phi de G et un entier naturel n_g tels que psi_g = phi^{n_g}. Partant de là, il faut montrer que phi^{n_g}(h) = h pour tout choix de h. Ca voudrait dire que phi^{n_g} = id, donc en fait non seulement Aut(G) serait monogène mais aussi cyclique (i.e. c'est un groupe fini). Et G serait fini car il s'injecte bien évidemment dans son groupe d'automorphismes.

Bizarre bizarre, voici ce que j'en dis. En un mot, si G n'est pas fini ce résultat est faux. Tu es sûr que tu nous as donné toutes les hypothèses ?

Edit : c'est faux mon "G serait fini car il s'injecte bien évidemment dans son groupe d'automorphismes" dans le cas d'un groupe abélien l'image de l'action par conjugaison c'est l'identité...

[TMQT]

Citation :

Publié par harermuir

Monogène, je dirai betement avec un seul générateur. D'un autre coté, ca voudrait dire que c'est un groupe de Lie, ce que je ne vois pas dans l'énoncé.

Pourquoi ce serait un groupe de Lie ?

[TMQT]

Bon, j'ai peut-être un contre-exemple. Si on prend <r,s> le groupe libre à deux générateurs, ses seuls automorphismes non triviaux envoient un générateur sur un générateur ou l'inverse d'un générateur. Donc en fait, on les obtient juste avec le suivant :

r -> s^{-1}, et s -> r

En effet, en l'appliquant successivement on a r -> s^{-1} -> r^{-1} -> s -> r.

Ainsi, Aut(G) est monogène, et pourtant <r,s> est tout sauf abélien.

[harermuir]

Citation :

Publié par tmqt

Pourquoi ce serait un groupe de Lie ?

Parce que betement, ma formation de physicien des particules fait que je n'ai jamais vu de groupe avec generateur qui ne soit pas un groupe de Lie. Les seuls dont j'ai eu l'usage, c'est les groupes "de base" type U(n), SU(n), à la limite les SO(n) et le groupe de Poincarré (evidemment). Je pensais betement que générateur impliqué groupe de Lie.

[TMQT]

Citation :

Publié par harermuir

Parce que betement, ma formation de physicien des particules fait que je n'ai jamais vu de groupe avec generateur qui ne soit pas un groupe de Lie. Les seuls dont j'ai eu l'usage, c'est les groupes "de base" type U(n), SU(n), à la limite les SO(n) et le groupe de Poincarré (evidemment). Je pensais betement que générateur impliqué groupe de Lie.

Ben ça dépend ce que tu veux dire

Si tu entendais "il existe une structure de variété qui en fasse un groupe de Lie", c'est vrai. Tout simplement parce qu'un groupe monogène est discret pour d'évidentes raisons, de cardinalité au maximum dénombrable. Alors on peut mettre dessus la topologie discrète qui le rend localement homéomorphe à IR^{0} qui est un singleton, et on voit facilement que les changements de cartes sont "lisses" et que les lois sont lisses aussi. Bref, c'est une variété de dimension 0, et c'est inintéressant au possible.

Si tu entendais "c'est un groupe de Lie", non, c'est faux. C'est un groupe. Tout comme IR^n n'est pas intrinsèquement un espace vectoriel, il faut mettre la structure dessus.

C'est comme dire "tel ensemble est un groupe". Ca n'a pas de sens, parce que sur n'importe quel ensemble non vide on peut mettre une structure de groupe. C'est pour ça que la définition de groupe ce n'est pas "un ensemble sur lequel il existe une loi notée + et qui satisfait à blablabla", mais "un ensemble muni d'une loi qui vérifie blablabla". Sinon on pourrait changer "groupe" par "objet de la catégorie des ensembles".

[huhuh]

Alors moi je ferai comme ça:
soient a et b deux éléments de (G,*) on veut donc montrer a*b=b*a.

Si a=e ou b=e ,e étant l'élément neutre, alors le résultat est simple.

Si a≠e et b≠e alors on peut trouver un automorphisme g tel que g(a)=b.

On a alors:
a*b=a*g(a).

Le groupe des automorphismes étant monogène on dispose de f € Aut(G), de n et p entiers naturels tels que:
f^n=g
f^p=Id

ce qui fait:
f^n(a)=g(a)
f^p(a=a

Donc
a*g(a)=f^p(a)*f^n(a)
Or f^n et f^p commutent,donc
a*g(a)=f^p(a)*f^n(a)=f^n(a)*f^p(a)=g(a)*a=b*a

finalement a*b=b*a donc G est bien abélien.

[El'Diablo]

Citation :

Publié par huhuh

Alors moi je ferai comme ça:
soient a et b deux éléments de (G,*) on veut donc montrer a*b=b*a.

Si a=e ou b=e ,e étant l'élément neutre, alors le résultat est simple.

Si a≠e et b≠e alors on peut trouver un automorphisme g tel que g(a)=b.

On a alors:
a*b=a*g(a).

Le groupe des automorphismes étant monogène on dispose de f € Aut(G), de n et p entiers naturels tels que:
f^n=g
f^p=Id

ce qui fait:
f^n(a)=g(a)
f^p(a=a

Donc
a*g(a)=f^p(a)*f^n(a)
Or f^n et f^p commutent,donc
a*g(a)=f^p(a)*f^n(a)=f^n(a)*f^p(a)=g(a)*a=b*a

finalement a*b=b*a donc G est bien abélien.

T'es vraiment né en 1990 et collégien?

[Mardil]

Citation :

Publié par huhuh

Or f^n et f^p commutent,donc
a*g(a)=f^p(a)*f^n(a)=f^n(a)*f^p(a)=g(a)*a=b*a

f^n et f^p commutent, ça veut dire que pour tout a dans G, on a :
f^n(f^p(a))=f^p(f^n(a))
Et pas f^n(a)*f^p(a)=f^p(a)*f^n(a)

Ton argumentation me semble donc fausse.

[Melchiorus]

Citation :

Publié par huhuh

Si a≠e et b≠e alors on peut trouver un automorphisme g tel que g(a)=b.

Vraiment ?
Prenons Z et la loi +
Les 2 seuls automorphismes de Z sont Id et -Id.
Maintenant si je choisis a=2 et b=3 comment choisis-tu un automorphisme qui envoie 2 sur 3 ?

[Pleures]

bon j'ai tout lu et j'ai rien compris de chez compris (jsuis enseconde ).

Cependant, mene par ma curiosité, une phrase me trouble reelement ...

Citation :

Pourtant, 1+2 ne vaut pas 2+1 donc G n'est pas abélien.

1+2 ne vaut pas 2+1 , que qqn m'explique silvouplait

[Lagoon]

Citation :

Publié par Xbleem

bon j'ai tout lu et j'ai rien compris de chez compris (jsuis enseconde ).

Cependant, mene par ma curiosité, une phrase me trouble reelement ...



1+2 ne vaut pas 2+1 , que qqn m'explique silvouplait

Il a défini le groupe de cette manière :

"Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre)."

Voila c'est tout en algèbre tu peuxfaire un peu n'importe quoi avec les groupes

[harermuir]

Citation :

Publié par Lagoon

Il a défini le groupe de cette manière :

"Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre)."

Voila c'est tout en algèbre tu peuxfaire un peu n'importe quoi avec les groupes

Dis autrement, le + ici ne represente pas l'addition que tu connais. C'est juste un symbole pour désigner une autre operation qui, elle, n'est pas commutative.

[Zangdar MortPartout]

Quand je lis ça je suis content d'être rentré en école d'ingé directement

[Mardil]

Citation :

Publié par harermuir

Dis autrement, le + ici ne represente pas l'addition que tu connais. C'est juste un symbole pour désigner une autre operation qui, elle, n'est pas commutative.

A noter que les conventions voudraient qu'on note par un . ou par un * ou un x les lois non commutatives... Normalement, la notation + est réservée pour les lois non commutatives. Tant qu'on précise, c'est pas dramatique, mais ça aurait été plus lisible avec des conventions d'écriture standard.

[huhuh]

Citation :

Publié par Melchiorus

Vraiment ?
Prenons Z et la loi +
Les 2 seuls automorphismes de Z sont Id et -Id.
Maintenant si je choisis a=2 et b=3 comment choisis-tu un automorphisme qui envoie 2 sur 3 ?

arf, oui effectivement je me suis planté

@Mardil
en fait en désignant f^p je pensais à f*f*..*f et non pas à la composé c'est à dire f(f(...)).
Mais en fait ça ne marche pas du tout car (Aut(G),*) n'est pas un groupe alors que (Aut(G),o) en est un ..

bref je me suis doublement planté

[Ex-voto]

Citation :

Publié par Melchiorus

Vraiment ?
Prenons Z et la loi +
Les 2 seuls automorphismes de Z sont Id et -Id.

je ne comprends pas pourquoi

Et celui qui envoie n sur n-1 ?

[hulkogan]

l image par un morphisme de l'élément neutre doit etre l'élément neutre donc n->n-1 n'est pas un morphisme (juste une bijection)

[Ex-voto]

Citation :

Publié par hulkogan

l image par un morphisme de l'élément neutre doit etre l'élément neutre donc n->n-1 n'est pas un morphisme (juste une bijection)

ah oui je suis con (putain niveau Drachen ²)


mais je comprends toujours pas que les seuls automorphismes de Z soit Id et -Id par contre.

[TMQT]

Citation :

Publié par Ex-voto

ah oui je suis con (putain niveau Drachen ²)


mais je comprends toujours pas que les seuls automorphismes de Z soit Id et -Id par contre.

Parce que pour f dans Aut(Z), tu as f(n) = nf(1), donc f est de la forme f(n) = an où a est un entier. L'image de Z par f est donc aZ, et il faut que a = 1 ou -1 pour que aZ = Z (tu veux la surjectivité).

On a bien Aut(Z) = Z/2Z.

[Prophetis]

Citation :

Publié par Bnj

Ok. Maintenant explique moi où sont les maths là-dedans.

Les math, ce ne sont pas que des calculs.

[Niluje]

Citation :

Publié par Prophetis

Les math, ce ne sont pas que des calculs.

Je serais même tenté de dire "au contraire"

[TMQT]

J'ai même tendance à dire que l'on touche du doigt les vraies maths, et que mon quotidien est rempli de telles choses