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Lambda reilavech
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Math : equa diff y'=ay²+b

voila je cherche les solutions de l'équation différentielle du type y'=ay²+b ?

Pourriez vous m'aider ?
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Lango
 
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Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation:
Provient du message de Lambda reilavech
voila je cherche les solutions de l'équation différentielle du type y'=ay²+b ?

Pourriez vous m'aider ?
houla... équa diff non linéaire...
bonne chance
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Leufar
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T'es sûr que les solutions sont connues ? J'ai souvenir d'un "exemple idiot" ( ce sont ses termes ) que notre prof de maths avait pris pour nous montrer que même des équations différentielles "simples" n'étaient pas résolues...mais c'était peut-être y'=ay²+by+c , je m'souviens plus
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Leto, alias Funeste
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Désolé je ne connais que les équations différentielles du type y=ay' ou y=ay'+b et leurs solutions.
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Avec des carrés je sais pas faire ..... peut pas trop t'aider ....
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vabroi
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Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation:
Provient du message de Lambda reilavech
voila je cherche les solutions de l'équation différentielle du type y'=ay²+b ?

Pourriez vous m'aider ?
Si on pose Y=y²

Y'=2y'

D'où l'équation : Y'=2(aY+b)

posons A=-2a et B=2b

Dans l'équation cela donne : Y'+AY=B


Ici, on commence par déterminer la solution générale de l'équation sans second membre : Y'+AY=0
dont la solution est la fonction qui à tout x associe L.e(A.x) [lire : lambda fois exponentielle de A fois x; L Lambda constante d'intégration à déterminer par les conditions initiales plus tard]

Ensuite, on recherche la solution particulière de l'équation Y'+AY=B avec second membre

pour cela on sait dorénavant que Y'=A.Y donc :
A.Y+A.Y=B
soit 2AY=B
d'où Y=Cst=1/2.B/A, SSI A différent de 0

De cela, comme la solution générale de l'équation avec second membre est en fait la somme de la solution de l'eq géné sans et de la solution de l'eq particulière avec :

Y=L.e(A.x)+B/(2A), pour tout A différent de 0

A présent nous revenons en y,a et b :


y=(+-)[racine de:][L.e(-2ax)-b/(2a)], pour tout a différent 0

ici il manque donc les conditions initiales permettant de calculer L (lambda, constante) et le signe devant la racine carrée.



(voila, désolé du retard, désolé de n'avoir pas tout tout développer, et désolé de présentation. Mais logiquement ca colle)
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Quemour
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Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation:
Provient du message de vabroi
Si on pose Y=y²

Y'=2y'
Si Y=y² , Y'=(y²)'=2y non ?

Désolé je n'ai pas lu le reste encore mais là dès le début ça me semble bizarre *sent qu'il va se faire démonter*
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Lango
 
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Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation:
Provient du message de Quemour
Si Y=y² , Y'=(y²)'=2y non ?
non plus, Y'=(y²)' = (y×y)'=y'y+yy'=2y'y.
Mais ça reste non linéaire
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Peewee Vdp
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Il y a que moi qui comprend qu'il ne comprend rien en math
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Xam
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Non je suis complètement largué si ca peut te rassurer...
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Lemuel
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Houla, equa diff non linéaire...
désolé, je fais que les linéaires, moi
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Avatar de Erkethan
Erkethan
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Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation:
Provient du message de Quemour
Si Y=y² , Y'=(y²)'=2y non ?
Oula attention !

Si y est une variable, et que l'on dérive en fonction de y, alors (y²)' = 2 y

Mais ici, y est une fonction, et si on applique bien ses formules :

(y²)' = 2 y y'


car (y²)' = (y y)' = y' y + y y' = 2 y y'

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Lord Koss Sa Mére
Empereur
 
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Je comprend rien mais j'aime bien
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Kurgorn
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A mort les maths.
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Avatar de Mardil
Mardil
 
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Résolution à la physicienne :

y'=dy/dx.

On a donc :
dy/(a*y²+b) = dx

On intègre ceci entre (x0,y0) et (x,y) (y(x0)=y0 : condition initiale)

soit :

x-x0 = 1/racine(ab) * (arctan(y*racine(a/b)) - arctan(y0*racine(a/b)))

on inverse ceci, et il viens :

y=racine(b/a) * tan [ (x-x0)*racine (ab) + arctan(y0*racine(a/b)) ]


Voila voila

J'ai fait les calculs de tête, je te conseille de les vérifier...
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