[Maths] Existe t-il une équa diff usant de position, vitesse et accélération ?

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Bonsoir,

L'équation différentielle est un concept tout nouveau que j'ai entrevu sans parvenir encore à bien l'appréhender.

Pour être heureux, il faut que je sois dans le monde des humains où les choses ont une application concrète, tangible.
Alors, je peux mieux me les représenter.

Je me représente mieux les fonctions, leurs dérivées et dérivées secondes
quand je les assigne respectivement à la position, vitesse et accélération.
Cela m'aide à comprendre, à l'inverse, pourquoi les constantes apparaissent quand on passe des dérivées aux primitives, par exemple.

Alors je serai content s'il existait une équation différentielle représentant une situation connue
qui mettrait en jeu conjointement position, vitesse et accélération.

Ainsi je pourrais mieux me figurer pourquoi il est nécessaire d'avoir et comment vivent ces équations spéciales,
qui mettent en jeu conjointement une fonction elle-même, sa dérivée et sa dérivée seconde.
Pour le moment, cela m'intrigue et je ne peux pas me le représenter. Je peux l'apprendre, mais pas pleinement l'accepter : ce n'est pas digéré.

Avez-vous des exemples ?
Merci !

Dernière modification par Caniveau Royal ; 23/08/2017 à 20h21.
Y'en a plein en physique, l'équation d'un pendule simple relie l'angle à l’accélération angulaire (dans le cas de petites oscillations, sans considérer de frottement avec l'air). C'est un cas d'école, tu trouveras plein d'explications sur internet.

Si en plus tu rajoutes des frottements avec l'air qui dépendent de la vitesse dans ton modèle, tu obtiens une équation différentielle qui reliera position angulaire, vitesse angulaire et accélération angulaire.
a puissance b ->>> b x a puissance (b-1) c est b que tu appele constante ??

accelaration 9 m/s²
vitesse 9 x temps m/s
distance 9 /2 x temps² m


si on part de la distance ca donne 2*9/2 t = 9t comme prevu
Oh merci !
Je vais pouvoir cogiter ça !

Citation :
Publié par cricri
a puissance b ->>> b x a puissance (b-1) c est b que tu appelle constante ??
En fait, je me suis représenté les choses à partir du taux d'accroissement.
En comprenant qu'aller à 3 km/h c'est aller de la position 0 km à 3 km en une heure, ou de la position 5 km à 8 km, ou bien encore de 12 km à 18 km, mais en deux heures.

De sorte qu'à l'inverse, si quelqu'un me dit : "J'ai fait du 3 km/h", je ne peux pas vraiment savoir s'il est allé du kilomètre 0 à 3, 5 à 8 ou 16 à 19.
Si j'essaie de le restituer le taux d'accroissement (qui fait appel à des positions au numérateur) à partir du nombre dérivé qui est une vitesse
alors une constante arrive qui vient du fait que je ne connais pas le décalage de la position de départ du chemin parcouru par rapport au kilomètre zéro.
Je n'ai pas à m'inquiéter de cette constante car si elle se loge dans le calcul de mon taux de variation, elle agit sur les deux termes du numérateur qui se soustraient et s'annule.

Dernière modification par Caniveau Royal ; 23/08/2017 à 21h37.
Salut,

Citation :
Publié par Caniveau Royal
Je me représente mieux les fonctions, leurs dérivées et dérivées secondes
quand je les assigne respectivement à la position, vitesse et accélération.

Ces deux représentations sont plutôt "équivalentes". La dérivée te permet de savoir à quelle "vitesse" une fonction va croitre ou décroitre et la dérivée seconde te dit si cette -dé-croissance est plus ou moins rapide.

Tu t'attaques à un problème hyper intéressant mais au combien compliqué que sont les équa diff.

Réduire les équa diff à la dynamique, c'est un peu... réducteur.

Tu peux par exemple t'intéresser aux modèles d'évolution de population (type Lotka-Volterra pour un modèle proie-prédateurs) ou bien le modèle de croissance logistique (qui typiquement dit que une population peut croitre jusqu'à un "moment" donné où elle atteindra une limite, par exemple de ressources).
Citation :
Publié par Caniveau Royal
Oh merci !
Je vais pouvoir cogiter ça !
Globalement, toute equation de mecanique classique avec des frottements/ressort visqueux marchera (le ressort plus haut en est un exemple).

En gros tu as deux types de ressort :
- Les ressorts 'elastique' : la force depend simplement de l'elongation du ressort, donc tu as des trucs du genre
F = k * (x - x0)
C'est un peu le ressort "jouet" classique
- Les ressort 'visqueux' : la force depend de la vitesse de deplacement du ressort
F = c * v = c * dx/dt
C'est typiquement l'amortisseur de voiture/moto/velo ou autre.
L'idee c'est que le ressort excerce une force d'autant plus importante que tu lui 'rentre dedans' rapidement.

En pratique, un ressort aura toujours un peu deux composantes (sinon soit il peux osciller a l'infini (si pas du tout visqueux et que elastique) soit il peux s'ecraser infiniement (pas du tout elastique, que visqueux))

Maintenant si tu combines ca avec genre du masse pendue au bout d'un ressort elastique et visqueux, donc avec deux 'composantes' de force, tu obtient, avec l'equation classique F(t) = m a(t) = m d^2x(t)/dt^2 de Newton tu obtient un ODE du genre

F_tot = F_elastique + F_visqueux = k (x(t) - x_0) + c dx(t)/dt = m d^2 x(t)/dt^2

ou avec la notation 'prime' pour la derivee,

m x'' = k (x - x_0) + c x'

En gros, l'acceleration est proportionelle a la fois au deplacement de la masse et a sa vitesse.
C'est grosso merdo la solution du probleme poste ci dessus.

Si m, k et c sont constant, cette equation a une solution unique pour peux que tu fixe x(0) et x'(0), les conditions initiales.

Sinon oui les equa diff sont un domaines tres vastes, et de tres nombreux domaines modelisent plein de truc avec les equations differentielles.
Un autre exemple plus marrant.

Considere un corps en chute libre depuis l'espace vers la terre.
Considerons que les distances sont suffisamment grande que tu dois modeliser la graviter de maniere precise, donc avec la fameuse formule (Newton)
F_gravite = G m_corps m_terre / x^2 = C / x^2
ou x est la distance au centre de la terre et C une constante appropriee.
Considerons egalement des frottements visqueux de l'air sur le corps (c'est typique comme modele)
F_air = n v = n x'
En sommant F = m a on trouve une EDO avec x, x' et x''
F_gravite + F_air = C / x^2 + n x' = m x''

Pas sur que l'EDO ait vraiment du sens ou soit pratique mais c'est un autre exemple
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