Math : equa diff y'=ay²+b

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T'es sûr que les solutions sont connues ? J'ai souvenir d'un "exemple idiot" ( ce sont ses termes ) que notre prof de maths avait pris pour nous montrer que même des équations différentielles "simples" n'étaient pas résolues...mais c'était peut-être y'=ay²+by+c , je m'souviens plus
Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de Lambda reilavech
voila je cherche les solutions de l'équation différentielle du type y'=ay²+b ?

Pourriez vous m'aider ?
Si on pose Y=y²

Y'=2y'

D'où l'équation : Y'=2(aY+b)

posons A=-2a et B=2b

Dans l'équation cela donne : Y'+AY=B


Ici, on commence par déterminer la solution générale de l'équation sans second membre : Y'+AY=0
dont la solution est la fonction qui à tout x associe L.e(A.x) [lire : lambda fois exponentielle de A fois x; L Lambda constante d'intégration à déterminer par les conditions initiales plus tard]

Ensuite, on recherche la solution particulière de l'équation Y'+AY=B avec second membre

pour cela on sait dorénavant que Y'=A.Y donc :
A.Y+A.Y=B
soit 2AY=B
d'où Y=Cst=1/2.B/A, SSI A différent de 0

De cela, comme la solution générale de l'équation avec second membre est en fait la somme de la solution de l'eq géné sans et de la solution de l'eq particulière avec :

Y=L.e(A.x)+B/(2A), pour tout A différent de 0

A présent nous revenons en y,a et b :


y=(+-)[racine de:][L.e(-2ax)-b/(2a)], pour tout a différent 0

ici il manque donc les conditions initiales permettant de calculer L (lambda, constante) et le signe devant la racine carrée.



(voila, désolé du retard, désolé de n'avoir pas tout tout développer, et désolé de présentation. Mais logiquement ca colle)
Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de vabroi
Si on pose Y=y²

Y'=2y'
Si Y=y² , Y'=(y²)'=2y non ?

Désolé je n'ai pas lu le reste encore mais là dès le début ça me semble bizarre *sent qu'il va se faire démonter*
Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de Quemour
Si Y=y² , Y'=(y²)'=2y non ?
Oula attention !

Si y est une variable, et que l'on dérive en fonction de y, alors (y²)' = 2 y

Mais ici, y est une fonction, et si on applique bien ses formules :

(y²)' = 2 y y'


car (y²)' = (y y)' = y' y + y y' = 2 y y'

Résolution à la physicienne :

y'=dy/dx.

On a donc :
dy/(a*y²+b) = dx

On intègre ceci entre (x0,y0) et (x,y) (y(x0)=y0 : condition initiale)

soit :

x-x0 = 1/racine(ab) * (arctan(y*racine(a/b)) - arctan(y0*racine(a/b)))

on inverse ceci, et il viens :

y=racine(b/a) * tan [ (x-x0)*racine (ab) + arctan(y0*racine(a/b)) ]


Voila voila

J'ai fait les calculs de tête, je te conseille de les vérifier...
Re: Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de Erk l'exilé
Oula attention !

Si y est une variable, et que l'on dérive en fonction de y, alors (y²)' = 2 y

Mais ici, y est une fonction, et si on applique bien ses formules :

(y²)' = 2 y y'


car (y²)' = (y y)' = y' y + y y' = 2 y y'

Oui voilà, je savais bien qu'il y avait un problème dans ce que j'avais écrit, mais j'arrivais pas à trouver quoi Merci

Mais je savais aussi qu'il y avait un problème dans l'explication de vabroi
Re: Re: Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de Quemour
Oui voilà, je savais bien qu'il y avait un problème dans ce que j'avais écrit, mais j'arrivais pas à trouver quoi Merci

Mais je savais aussi qu'il y avait un problème dans l'explication de vabroi
c'est pas pour dire mais j'avais corrigé avant lui

<a l'impression de pas être lu>
Citation :
Provient du message de pifou2003
Quelqu'un a déjà utilisé les equa diff dans son travail ? Moi non en tout cas.
la plupart des ingénieurs en aéronautique doivent en utiliser tous les jours...

[edit] et si ça te suffit pas, dis toi que sans équations différentielles, tu n'aurais pas d'ordinateur sous la main
Cliquez ce bouton ou survolez le contenu pour afficher le spoiler
pratique les ordinateurs, ça permet de donner un exemple pour à peu près toutes les questions du type «À quoi ça sert [truc de maths/physique/chimie] ?»

[/edit]


elle sert à quoi cette remarque ?
Re: Re: Re: Re: Re: Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Citation :
Provient du message de Lango Silma
c'est pas pour dire mais j'avais corrigé avant lui

<a l'impression de pas être lu>
Ah si je t'avais lu !

Mais je m'appretais à protester (comme ça : ) quand j'ai vu qu'il m'expliquait que je me gourrais honteusement entre une variable et une fonction .

Citation :
Provient du message de Greumlins
Ça doit arriver aux profs de maths de temps en temps.
Bien vu
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