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Qelf
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[Mathématiques]Defi !

L'équation en n suivante admet elle un nombre fini de solution dans l'ensemble des naturels?

[img]http://******************/azreth/equation.jpg[/img]

-Si oui quelles sont elles?
-Si non, existe-t'il une caractérisation de l'ensemble des solutions autre que cette equation?

Précisions :
-Je ne saurais répondre a ce probleme... mais je me penche dessus... faut dire que je l'ai imaginé (a moins que quelqu'un d'autre avant moi y ait pensé...) et que depuis ca me prend la tete...
-Je sais qu'il existe au moins deux solutions :
n = 0
n = 2

[edit : faute d'orthographe honteuse... debout depuis 7h ce matin a bachoter... fatiguée]
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Avatar de Serafel
Serafel [CdA]
Alpha & Oméga
 
Avatar de Serafel
 
Re: [Mathématiques]Defi !
Citation:
Provient du message de Prune

-Si oui quelles sont elles?
-Si non, existe-t'il une caractérisation de l'ensemble des solutions autre que c'est equation?

Hum, tu as bien fait de faire des maths
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Code of Vulgar[ISM]
Bagnard
 
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n=0..

car 2+2 = 11.
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Qelf
Alpha & Oméga
 
Citation:
Provient du message de Yukimura
n=0..

car 2+2 = 11.
Euh... *se creuse la cervelle*
C'est ironique ou je suis vraiment fatiguée... ?
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Marie Claire
Reine
 
Avatar de Marie Claire
 
Je ne saurai en tout honnêteté répondre à ta question.

Pour les deux solutions que tu donnes, elles sont bien sûr exacte (o et 2). Je me demande s'il existe un site qui permet de rentrer une équation et de voir qu'elle tête elle a. En tout ças si ça existe ça m'intéresserai bien d'essayer quelques équations qui m'ont martyrisé toute l'année.
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Avatar de Lango
Lango
 
Avatar de Lango
 
0, 1 et 2 sont solution.
Pour n>=3, la suite est strictement négative, il faudrait la majorer de manière astucieuse pour le montrer mais il est tard
(en développant le premier terme avec la formule du binôme par exemple)

On peut noter que la suite est même strictement décroissante à partir d'un certain rang, et diverge vers -∞ (elle est équivalente à -n^{n+1})
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Melchiorus
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Avatar de Melchiorus
 
Il n'y a que 3 solutions
n=0
n=1
n=2

(n+1)^n-n^(n+1)<0 pour n>=3
donc on ne peut pas avoir (n+1)^n-n^(n+1)=1 pour n>=3

Preuve :
on factorise par n^n

on veut montrer que (1+1/n)^n-n<0 pour n>=3

or on a que (1+1/n)^n<e=2.711517... pour n>=1

donc (1+1/n)^n-n<2.711517-n<0 si n>=3



[petit rajout : (1+1/n)^n=e^(n ln (1+1/n))<=e^(n*1/n)=e=2.711517... ]
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Nijel
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On peut aussi faire intervenir une fonction en utilisant le dérivée d'un quotient on pourra factoriser. Si jamais je ne suis pas devancé, je ferais ça demain.

edit : Melchiorus, ok ok ok...
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Novakain
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Citation:
n=0..

car 2+2 = 11.



pareil que Prune, ca doit etre la fatigue
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Qelf
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J'ai oublié de mettre le n=1 dans les solutions
Mais sinon pour démontrer que :

(1 + 1/n)^n < e
On fait comment ?
On pose la fonction :
f : x -> 1 + 1/n - e^(1/n)
On la dérive, elle est strictement croissante et on demontre qu'elle admet 0 comme limite en + l'infini ?
Ce qui ferait que pour tout x réel, f(x)<0
Et donc 1+ 1/n < e^(1/n)
Et pour finir (1 + 1/n)^n < e
c'est ca?
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Melchiorus
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Citation:
Provient du message de Prune
J'ai oublié de mettre le n=1 dans les solutions
Mais sinon pour démontrer que :

(1 + 1/n)^n < e
On fait comment ?
On pose la fonction :
f : x -> 1 + 1/n - e^(1/n)
On la dérive, elle est strictement croissante et on demontre qu'elle admet 0 comme limite en + l'infini ?
Ce qui ferait que pour tout x réel, f(x)<0
Et donc 1+ 1/n < e
Et pour finir (1 + 1/n)^n < e
c'est ça?
La démonstration c'est mon rajout (qui n'est pas détaillé par contre)

Tu as ln(1+x)<=x si x>=0 (ca se montre facilement)

Donc ln(1+1/n)<=1/n
donc n*ln(1+1/n)<=n*1/n=1
donc e^(n*ln(1+1/n))<=e^1=e

Or (1+1/n)^n=e^(n*ln(1+1/n)) ce qui donne le résultat.
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Qelf
Alpha & Oméga
 
Citation:
Provient du message de Melchiorus
La démonstration c'est mon rajout (qui n'est pas détaillé par contre)

Tu as ln(1+x)<=x si x>=0 (ca se montre facilement)

Donc ln(1+1/n)<=1/n
donc n*ln(1+1/n)<=n*1/n=1
donc e^(n*ln(1+1/n))<=e^1=e

Or (1+1/n)^n=e^(n*ln(1+1/n)) ce qui donne le résultat.
Pour démontrer : ln(1+x)<=x

pour tout x >= 0 : ln(x)<=x-1 (tangente en 1), point d'inflexion blabla
et donc ln(1+x)<=x
ca suffit?
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Avatar de Melchiorus
Melchiorus
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Avatar de Melchiorus
 
Citation:
Provient du message de Prune
Pour démontrer : ln(1+x)<=x

pour tout x >= 0 : ln(x)<=x-1 (tangente en 1), point d'inflexion blabla
et donc ln(1+x)<=x
ca suffit?
Un truc dans ce genre là oui.
Tu dis que la fonction ln(x) est concave donc en dessous de ses tangentes.

Ou tu le démontres à la main en posant :
f(x)=x-ln(1+x)
On a f(0)=0 et f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>=0 pour x>=0
donc f(x)>=f(0)=0 pour x>=0
donc x>=ln(1+x) pour x>=0
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Edmie
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Avatar de Edmie
 
Mais c'est: N(tgG//23'-56- +4Nop = 3
car 45gh/t'(*-gg='(TG--ègg
Ce qui fait : O + O
=
la tête à toto !! *sors*
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Bagnard
 
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Doliprane.
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