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TMQT
 

[MATH]On peut pas peigner la sphère !

Salut

Dans le même genre d'idée que la sphère n'est pas plate, dans le sens où il n'en existe pas de paramétrisation dont la 2-forme associée soit l'identité, aujourd'hui, on ne peut plus peigner la sphère, y'a forcément un épi.

J'en ai trouvé dans un vieux cours une démonstration élégante au possible, qui se base sur le théorème de Sard et sur l'homotopie lisse.

Considérons un instant l'application antipodale x -> -x. Celle-ci, dès que n est pair, est une composition impaire d'applications renversant l'orientation. Son degré est donc -1 !
L'identité ne peut donc pas lui être homotope, puisque des applications différentiablement homotopes ont même degré (au sens des sommes des degrés des applications tangentes en une valeur régulière, qui n'en dépend pas, justement, plus fort que le secret des avions à réaction).

Pourtant, dès qu'il existe un champ de vecteurs tangent partout non nul, disons H, sur notre sphère, l'application F(x,t) = xcos(tpix) + H(x)sin(tpix) serait une homotopie lisse de l'identité vers l'application antipodale. Ca coincerait !

Du coup, dès que n est pair, on ne peut pas trouver de champ de vecteurs tangents, partout non nul, sur S^(n+1).

Pour peigner le cercle, y'a du monde, mais pour la sphère, pipô !

Finalement, je plains les coiffeurs, pour éviter les épis y'a qu'un moyen la boule à zéro
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Avatar de Actarus78
Actarus78
Alpha & Oméga
 
Avatar de Actarus78
 
houlala,on sent les périodes de (ré)vision pour les examens de fin d'année .
J'ai rien compris sinon .
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TMQT
 
Euh non, la fin d'année ce serait comprendre pourquoi Pontrjagin, pourtant super reconnu et pas à la masse au point de faire une erreur de débutant dans un article à deux sous, confond homéomorphisme et isométrie.

Ca, c'est du plaisir personnel

Sinon, c'est joli à lire, non ?
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Avatar de Volgaran
Volgaran
Alpha & Oméga
 
Avatar de Volgaran
 
*fracasse le crâne de tamamanquitaime à coups de Bescherelle*
On dit peindre, dedjiou !

Hein quoi? Je suis à la ramasse?
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Avatar de Seiyar
Seiyar
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Avatar de Seiyar
 
J'ai compris des trucs.

Mais comme j'ai pas tout compris, j'ai rien compris.
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Avatar de Serj Tankian
Serj Tankian
Bagnard
 
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Citation:
Provient du message de Laya de Malkesh
*fracasse le crâne de tamamanquitaime à coups de Bescherelle*
On dit peindre, dedjiou !

Hein quoi? Je suis à la ramasse?



et puis pour le post original aussi
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Avatar de Muska
Muska
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Place! Place! Faites place au grand mathématicien que je suis!

Hm, intéressant... On peut le rentrer dans la calculatrice?
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Lango
 
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Citation:
Provient du message de tamamanquitaime
Sinon, c'est joli à lire, non ?
Ça le serait encore plus si tu évitais les termes techniques et que tu présentais un peu ce dont tu parles...

J'ai du relire ton post 2 fois pour comprendre que n était la dimension de l'espace...

et tu aurais pu expliquer un peu ce que tu entends par «peigner une sphère»... tout le monde n'est pas plongé dans ce genre de maths, tu sais...

Sinon pour les coiffeurs, ils ont une solution très simple : ce n'est pas une sphère qu'ils peignent, mais une portion d'une sphère (faut enlever le visage et le cou )
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Avatar de Le Nain Disco
Le Nain Disco
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Avatar de Le Nain Disco
 
Re: [MATH]On peut pas peigner la sphère !
Citation:
Provient du message de tamamanquitaime
Salut
Jusque là, j'ai compris.
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TMQT
 
Ah, heu, éviter les termes techniques c'est dur

Je démontre simplement que l'on ne peut pas trouver un champ de vecteurs tangents partout non nul sur la sphère. En gros, si on essaie de plaquer les cheveux de quelqu'un sur son crâne, on aura un problème si l'on ne met pas un ou deux trous bien placés. C'est un résultat classique de géométrie différentielle, vu ici comme corollaire du théorème de Sard (enfin c'est loin d'être direct quand même) qui garantit que l'ensemble des point critiques d'une application lisse entre sous-variétés de même dimension est de mesure de Lebesgue nulle (en gros, l'ensemble des valeurs régulières est dense, on peut toujours en prendre une, c'est fort).

Dans la même veine, avec les même théorèmes, on arrive à montrer plein de choses de topologie algébrique usuelle, la plupart du temps fondées sur les groupes d'homotopies : tout polynôme à coefficients complexes possède au moins une racine (y'a plein d'autres preuves, dont l'une se base sur l'ouverture des fonctions analytiques), ou que toute application continue d'un espace homéomorphe à la sphère (compact de Hausdorff, d'ailleurs, ça doit suffire) possède un point fixe, c'est le théorème de Brouwer.

En plus c'est n+1 la dimension de l'espace
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Avatar de Foerdom-ex Demiosien
Foerdom-ex Demiosien
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Avatar de Foerdom-ex Demiosien
 
Citation:
Provient du message de Seiyar/Alucard
J'ai compris des trucs.

Mais comme j'ai pas tout compris, j'ai rien compris.

Pareil.

Faut que j'arrête de citer tes messages, moi, ça devient une habitude... A force, je vais te demander d'écrire pour moi
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Avatar de Le Nain Disco
Le Nain Disco
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Citation:
Provient du message de tamamanquitaime
En gros, si on essaie de plaquer les cheveux de quelqu'un sur son crâne, on aura un problème si l'on ne met pas un ou deux trous bien placés.
Ah oky, donc si qqun a une tête sphérique, il aura des épis. Mais le problème ne se pose à nous humains, qui avons une tête ovale

Par contre, je plains PAC-MAN, je comprend pourquoi il a la boule à zéro maintenant.
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Avatar de Melchiorus
Melchiorus
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Avatar de Melchiorus
 
La même démonstration en un peu plus clair (peut-être)
http://www-timc.imag.fr/Olivier.Cinquin/ter/node29.html

La topologie algébrique c'est bien mais ceux qui ne connaissent pas, ne risquent pas de comprendre.
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TMQT
 
Citation:
Provient du message de LeNainDisco
Ah oky, donc si qqun a une tête sphérique, il aura des épis. Mais le problème ne se pose à nous humains, qui avons une tête ovale
Dans le doute, je dirais que c'est pareil, ça doit pas être bien loin, on doit pouvoir le montrer pour un ellipsoïde

Par contre, pour les petites déformations locales, hein, y'a pas de doute, on devrait pouvoir y arriver

(personne a remarqué que j'avais supposé mon champ de vecteurs de norme constante, et donc que pour un hardos ça passe ? )

Merci Melchiorus

(Comment ça plus clair ? C'est aussi clair ce que j'ai écrit )

PS : C'est ton mémoire en lien ?
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Avatar de Lango
Lango
 
Avatar de Lango
 
Citation:
Provient du message de LeNainDisco
Ah oky, donc si qqun a une tête sphérique, il aura des épis. Mais le problème ne se pose à nous humains, qui avons une tête ovale
en l'occurence la tête humaine est isomorphe à une sphère... si on oublie le visage et le cou
Lien direct vers le message - Vieux
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