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Question

[Maths] 1 Maximisation sous contraintes (2) que je n'arrive pas a faire...

Bien voila, étant en révision de partiels (qui approchent a grands pas, NON JE VEUX PAS !!!! ) je me mets a mon Economie de l'information.

J'ai du mal a comprendre, normal, y'a plein de chiffres, de formules et de bidules a la noix, mais bon... Je tripatouille, ca marche, ok, v'la un chapitre de fait.
Comme j'étais motivé je continue, et la...POUM. Je butte sur un probleme a la mords-moi-l'noeud que j'arrive pas a résoudre. C'est puremement mathematiques (c'est d'ailleur pour ca que je n'arrive pas a le faire ).

Voici le probleme :
A préciser que Pi ici n'a pas valeur de chiffre 3,14 mais de variable (Pi pour Profit), et qu'il y a 2 profits possibles, PiH (=100) et PiL (=60). Idem pour w (le salaire) wH et wL, a determiner.
u(w) représente une fonction, telle que u(w) = Racine carrée de w
Je note >= le signe "superieur ou égal"

Il faut Maximiser V=0,4*(PiH-wH)+0,6*(PiL-wL) en agissant sur wH et wL
Sous contraintes :
(RI) : 0,4*u(wH-2)+0,6*u(wL-2) >= u(50)
(CI) : 0,4*u(wH-2)+0,6*u(wL-2) >= 0,3*u(wH) + 0,7u(wL)

Ou (RI) et (CI) sont les noms de mes contraintes.
Jusqu'à présent je n'avais que des maximisation a une seule contrainte, et on utilisait le Lagrangien associé au problème.
Ici ce sont des inégalités, mais il suffit de montrer que le Lambda du lagrangien est positif pour que les contraintes deviennent equation.

Seulement dès les début je bloque, car je n'arrive pas a écrire mon Lagragien. Comme j'ai 2 contraintes, dois je mettre 2 lambda ? Bref je ne sais pas faire.

A noter que par Lambda je parle de la variable telle que le lagrangien s'ecrit :
L = FonctionObjectif + Lambda*(Contrainte)

J'ai les résultats (wH=64,9 et wL=44,2) mais je ne sais pas comment les retrouver. Sur mon cours, le prof nous a simplement dit : les 2 contraintes se coupent pour des valeurs wH et wL positives. Est ce a dire qu'il faille resoudre graphiquement ?

Bref si des matheux pouvaient m'aider, ca serait sympa, merci d'avance !
__________________
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Kazuya Mishima San
 
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Escuse moi, mais là ton sujet est assez pointu. Y a pas de news groupes adaptés à ce genre de questions? Je dit ça, non que ton sujet m'embête, ce n'est pas du tout le cas, mais juste que tu aurais peut-être d'avantage de chance d'avoir la ou les solutions.
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Naala
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Et moi qui pleure parce que j'étudie une image satellite...
A défaut de pouvoir t'aider, je te souhaite bien du courage...

P.S: Faites de la géologie, les gens, c'est plus drôle ^^
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Provient du message de Tiger Wood TC
Escuse moi, mais là ton sujet est assez pointu. Y a pas de news groupes adaptés à ce genre de questions? Je dit ça, non que ton sujet m'embête, ce n'est pas du tout le cas, mais juste que tu aurais peut-être d'avantage de chance d'avoir la ou les solutions.
Bah tout d'abord, ce n'est pas pour moi un besoin vital de le comprendre ce probleme, mais ca m'aiderait. Donc j'ai pas l'envie et le temps de me ballader sur le net a la recherche de sites/forums spécialisés ou en plus il va falloir s'incrire et tout le bordel.
Ensuite je post ici pke j'ai vu qu'il y avait assez souvent des posts sur des pbl de maths et qu'il y avait beaucoup de JoLiens en ecole d'ingenieurs, ou en etudes de maths etc... (ou alors ils se la dilattaient grave et j'y ai cru )
Et vu que les problemes de maximisation, en math, c'est pas bien compliqué et assez repandu, je me suis dis que y'avait bien quelqu'un qui finirait par comprendre...
Pis c'est le genre de problemes qu'on voit en 1ere année de sciences eco, en theorie c'est donc simple... Bon d'accord la je suis en 3eme année, mais je me suis faché avec les maths depuis bien longtemps deja....
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Mothra
 
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Normalement pour faire une maximisation d'une fonction objective sous contraintes a variables reelles, on utilise une methode de point intérieur ou un recuit simulé. Je ne me souviens plus si c'est le probleme en variables entieres ou celui en variables reelles qui est indecidable
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Vanina [jol]
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qd j'étais en licence je savais le faire sans pb


Bon là j'ai juste ramené tes 2 contraintes à une seule qui s'écrit

0,55wh+0,95wl>=45,84 (apres avoir additionné les 2 et passé au carré)

ce que tu pourrais faire éventuellement c'est te faire une représentation graphique pour voir la gueule que ça a dans le cas d'une égalité (et non d'une inégalité comme l'équation), ton lambda sera positif de toute façon, de mémoire il me semble que c'est la pente de la droite vu qu'on le calcule en dérivant.

Pis apres tu poses ton lagrangien et tu dérives par rapport à wh et wl
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Sinon, j'étais prêt à foncer comme Mothra en disant "c'est n'importe quoi, y'a pas besoin de Lagrangien, c'est un bête programme linéaire". Mais bon, dans les contraintes, rien n'est linéaire, ça va pas le faire

Je serais prêt à t'aider, mais ça a l'air trop lourd à lire*, ils ont plus de courage que moi là-bas pour ça

*Note à moi-même : C'est pas plutôt te replonger dans ces méthodes qui serait trop lourd parce que tu sais plus faire, hein ?
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cracou2 [INC]
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A noter que par Lambda je parle de la variable telle que le lagrangien s'ecrit :
L = FonctionObjectif + Lambda*(Contrainte)

J'ai les résultats (wH=64,9 et wL=44,2) mais je ne sais pas comment les retrouver. Sur mon cours, le prof nous a simplement dit : les 2 contraintes se coupent pour des valeurs wH et wL positives. Est ce a dire qu'il faille resoudre graphiquement ?


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Bon tu poses ton lagragien avec deux conditions Lambda et Gamma. dans la deuxième tu passes les termes wh et wl à gauche pour avoir une inégalité par rapport à 0
L = FonctionObjectif + Lambda*(Contrainte)+Gamma(contrainte2)

tu dérives les fonctions par rapport à wh et wl

tu supposes ne pas avoir de solution en coin (tu remplies les conditions de Khun Tucker) qui te disent que tes multiplicateurs de lagrange sont non nuls (donc les contraintes saturées)


u(wH-2)

c'est racine carrée de wh-2

ou bien

racine de wh moins 2

dans le premier cas les calculs sont franchement merdiques, dans l'autre c'est assez simple


sinon graphoquement tu représentes l'espace acceptable dans le plan et tu traces la courbe objectif. Si la prof est pas trop ignoble, tu vas tomber sur une solution en coin avec un seul point valable.

Edité par Corwin : messages consécutifs fusionnés, n'oubliez pas la fonction
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Provient du message de Naala


P.S: Faites de la géologie, les gens, c'est plus drôle ^^
De la géographie c'est mieux :P
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Walkyrie
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Provient du message de Vlad Drakov
De la géographie c'est mieux :P
Tsss la physique c'est 10000000 fois mieux...vive l'optique
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Provient du message de cracou2
u(wH-2)

c'est racine carrée de wh-2

ou bien

racine de wh moins 2

dans le premier cas les calculs sont franchement merdiques, dans l'autre c'est assez simple
C'est bel et bien racine carrée de (wH-2)

Mais bon je pense avoir eu les reponses que j'attendais, donc merci beaucoup les matheux
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C'est quel niveau ça ?
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cracou2 [INC]
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le lagrangien, première année en fac d'économie

sinon pour les calcus j'aimerai bien savoir comment tu obtiens lambda par le calcul car ça m'a l'air bien immonde
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Provient du message de cracou2
le lagrangien, première année en fac d'économie

sinon pour les calcus j'aimerai bien savoir comment tu obtiens lambda par le calcul car ça m'a l'air bien immonde
Effectivement, 1ere année de sciences eco.

Pour le lambda c'est tout simple puisqu'en derivant le langrangien par rapport a tes 2 variables, tu trouves 2 equations incluant lambda. Comme les conditions du premier ordre imposent que tes 2 derivées soient nulles, tu trouvent facilement lambda = quelquechose.
Et si ce quelquechose est positif, ca veut dire que tes contraintes (si se sont des inéquations) sont saturées, autrement dit qu'elles sont en fait des equations (*se demande s'il est bien clair la*)


Mais bon, a présent que j'ai ma solution, j'ai une autre question :

dans une autre maximisation, j'ai dans ma contrainte de la forme :

x*u(s2-p+w) >= û

Avec x une proba, et u(...) une fonction.
Je derive par rapport a p et w. Or (et la c'est vraiment un problème de type lycée) pourquoi est ce que sur mon cours je trouve comme resultat :
-Lambda*x*u'(s2-p+w) ?
Pourquoi un - devant lambda ? parceque y'a un - devant le p je suppose, mais je ne comprends pas. Je croyais que la dérivée de a*U(x) c'etait a*u*u', je me trompe ?

Bref, la meme si c'est pas un gros pbl, il me suffit de retenir que je mets un -, j'aimerai quand meme comprendre...
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