Re: Math : equa diff y'=ay²+b
Provient du message de Lambda reilavech
voila je cherche les solutions de l'équation différentielle du type y'=ay²+b ?
Pourriez vous m'aider ?
Si on pose Y=y²
Y'=2y'
D'où l'équation : Y'=2(aY+b)
posons A=-2a et B=2b
Dans l'équation cela donne : Y'+AY=B
Ici, on commence par déterminer la solution générale de l'équation sans second membre : Y'+AY=0
dont la solution est la fonction qui à tout x associe L.e(A.x) [lire : lambda fois exponentielle de A fois x; L Lambda constante d'intégration à déterminer par les conditions initiales plus tard]
Ensuite, on recherche la solution particulière de l'équation Y'+AY=B avec second membre
pour cela on sait dorénavant que Y'=A.Y donc :
A.Y+A.Y=B
soit 2AY=B
d'où Y=Cst=1/2.B/A, SSI A différent de 0
De cela, comme la solution générale de l'équation avec second membre est en fait la somme de la solution de l'eq géné sans et de la solution de l'eq particulière avec :
Y=L.e(A.x)+B/(2A), pour tout A différent de 0
A présent nous revenons en y,a et b :
y=(+-)[racine de:][L.e(-2ax)-b/(2a)], pour tout a différent 0
ici il manque donc les conditions initiales permettant de calculer L (lambda, constante) et le signe devant la racine carrée.
(voila, désolé du retard, désolé de n'avoir pas tout tout développer, et désolé de présentation. Mais logiquement ca colle)
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