[Rna]

Salut,

Je me mets à refaire des maths, chacun ses passe-temps. Jusqu'à un certain point, j'arrive à bien comprendre. Ce qui m'aide, c'est soit d'entrevoir leurs applications dans la programmation (équation d'un cercle du langage mathématique vers le langage informatique par exemple), ou dans la physique (relation inversement proportionnelle et loi de Newton), soit leur beauté même (équation d'Euler).

Là, je bloque sur les matrices. Il y a toute une série de procédures à mémoriser, mais comme je n'entrevoie ni la beauté ni l'utilité du bidule, j'ai une faible motivation.

Je suppose qu'il doit y avoir un rapport avec l'informatique (c'est d'ailleurs pour ça que je poste ici, en espérant être assez proche du thème du forum pour ne pas me faire locker direct).

Voilà, donc je lance une bouteille à la mer:

- y a-t-il une bonne âme pour m'expliquer l'intérêt des matrices, ou me donner deux ou trois exemples de ce qu'on peut faire avec ?




Je sais qu'il y a des forums de maths et wikipedia, mais j'ai un compte ici et je préfère quelque chose d'un peu moins austère. Et puis vu le titre, la discussion est ouverte à d'autres domaines des maths, tranquille no stress.

[cricri]

les matrices ce n est jamais qu une vue de l esprit

exemple en 3D un point a 3 coordonees soit une matrice 1x3
si on multiplie cette matrice par une matrice carre 3x3 speciale on fait bouger ce point selon les 3 directions

voir
http://forums.futura-sciences.com/ma...3d-erreur.html


a evidement plus simple la resolution de x equation avec x inconnu

[Draith]

Pour le peu que j'en sais (niveau bac+2 quoi), c'est surtout utile pour représenter des fonctions linéaires. Avec tout ce qui est lié avec: calcul du noyau, des images, les changements de bases etc...
Ça permet aussi de résoudre des systèmes d'équations (différentielles ou non).
Et comme dit avant, ça permet de mettre en forme des coordonnées.

En fait ça permet surtout de mettre des équations/fonctions/coordonnées sous une forme assez simple à manipuler/simplifier. C'est pas très compliqué de diagonaliser une matrice, ni de calculer son inverse, ni de calculer son déterminant, et pourtant c'est plutôt utile.

Après l'application sur l'informatique, je saurais pas trop te dire. Enfin, même si c'est déjà pas mal d'exprimer des coordonnées/ de trouver la fonction inverse dans certains cas je pense.

Et évidemment ce que je viens de dire n'est pas complet, peut être pas forcément juste, et très basique pour ceux qui ont des connaissances pointues en math.
Mais bon je pense que pour quelqu'un qui ne connait pas du tout, ça fait déjà des infos basique intéressantes.

[SamousaFR]

Un truc marrant comme ça ?

[Erlum]

Citation :

Publié par Draith

Pour le peu que j'en sais (niveau bac+2 quoi), c'est surtout utile pour représenter des fonctions linéaires. Avec tout ce qui est lié avec: calcul du noyau, des images, les changements de bases etc...
Ça permet aussi de résoudre des systèmes d'équations (différentielles ou non).
Et comme dit avant, ça permet de mettre en forme des coordonnées.

En fait ça permet surtout de mettre des équations/fonctions/coordonnées sous une forme assez simple à manipuler/simplifier. C'est pas très compliqué de diagonaliser une matrice, ni de calculer son inverse, ni de calculer son déterminant, et pourtant c'est plutôt utile.

Après l'application sur l'informatique, je saurais pas trop te dire. Enfin, même si c'est déjà pas mal d'exprimer des coordonnées/ de trouver la fonction inverse dans certains cas je pense.

Et évidemment ce que je viens de dire n'est pas complet, peut être pas forcément juste, et très basique pour ceux qui ont des connaissances pointues en math.
Mais bon je pense que pour quelqu'un qui ne connait pas du tout, ça fait déjà des infos basique intéressantes.

this.

Les matrices sont très très utiles pour étudier des applications linéaires.

Ça permet également comme précisé de résoudre des systèmes d'équation très simplement, pour de gros systèmes c'est largement plus puissant que les méthodes de résolution que tu vois en général au lycée.

Tu me rappelles que j'ai un partiel pété de matrices demain.

Edit : t'as les matrices appliquées aux graphes aussi, j'avais trouvé ça plutôt intéressant en terminale.

[-Black-Shadow-]

La méthode des éléments finis, utilisée largement en science pour modéliser des phénomènes physiques. Si je n'avais qu'une application à citer c'est celle là : les matrices sont utilisées massivement et on se rend compte de la puissance de la matrice

Il y a aussi des applications en optique, en statistique, en géométrie etc

[Rna]

Merci à tous pour vos réponses, elles m'ont donné le boost dont j'avais besoin !

@ Draith: moi c'est plutôt bac -2 mon niveau en math, donc pour ce qui me concerne, ton jugement fait autorité. Je sais calculer l'inverse d'une matrice de dimension 3*3 maintenant, c'est énorme pour moi !

@ SamousaFR: excellente vidéo ! Je suis pourtant abonné à Numberphile, je m'étonne que Computerphile ne m'ait pas encore été suggéré par Youtube !

[Randana]

Je pourrais te trouver des dizaines de centaines d'exemple de matrices en sciences (ingénieur). Quelques un qui me passent par l'esprit :
- En mecanique classique, ca représente les contraintes (forces) sur un corps (3 directions, 3 forces par direction, ca fait une matrice 3x3)
- Certaines équations, par exemple celle de la chaleur, s'écrivent sous la forme d'un énooooorme système linéaire, qui s'écrit avec une matrice (avec plein plein de zéros, d'ailleurs). Ca peut se modéliser avec éléments finis comme dit le monsieur plus haut.
- Ca peut être utilisé pour modéliser beaucoup de truc en théorie des graphes. Par exemple, le pagerank de google, à son origine (le fait de donner à chaque page web une certaine importance), était un problème matriciel. Ta matrice représentait les connexions entre pages web (une entrée (i,j) est non nulle si la page i pointe vers la page j). Tien cadeau un exemple que j'avais réalisé dans un projet :

Ce que tu vois, c'est exactement la matrice que j'ai décrite (qu'on appelle matrice d'adjacence). Un point bleu représente un "1", si y a rien c'est un "0".
- Pour étudier la résonance de structure ou de véhicule, il est souvent nécessaire de pouvoir étudier une certaine matrice, ce qui permet d'en extraire pas mal d'info, par exemple à quelle fréquence "critique" pourrait vibrer le véhicule

(etc)

[Adau]

Sans matrice, pas de tenseur non plus...

[kermo]

La vidéo est sympa pour voir l'énorme utilité des matrices en géométrie, quand il s'agit de faire des changements de repères.

Par contre le type n'utilise pas correctement la multiplication matricielle. La multiplication de la matrice par le vecteur s'écrit dans son cas , alors qu'il utilise .
Ça vient du fait que pour qu'une multiplication soit correcte il faut que ait autant de colonnes que a de lignes.

Retenir qu'une matrice (n,p) a n lignes et p colonnes, et qu'une matrice produit de deux matrices de taille (i,j)*(k,l) sera de taille (i,l) (valable pour les vecteurs ligne et colonne aussi). Et j=k, forcément
Pour la multiplication j'utilise la technique du pivotement de la main.

Enfin l'intérêt des matrices c'est qu'elles permettent de généraliser facilement à des tailles importantes. Ainsi résoudre un système nxn linéaire est aussi facile que résoudre un système 3x3. (C'est plus complexe par contre, en temps de calcul, mais on fait toujours juste une inversion)

[Randana]

Citation :

Publié par G.Skilled

Enfin l'intérêt des matrices c'est qu'elles permettent de généraliser facilement à des tailles importantes. Ainsi résoudre un système nxn linéaire est aussi facile que résoudre un système 3x3. (C'est plus complexe par contre, en temps de calcul, mais on fait toujours juste une inversion)

Théoriquement, oui, mais en pratique, justement pas

[Assurancetourix]

Citation :

Publié par Randana

Théoriquement, oui, mais en pratique, justement pas

Je me gausse en pivotant .

Citation :

Publié par Randana

Théoriquement, oui, mais en pratique, justement pas

Oui sur des trucs type taille 1 million par 1 million mieux vaut exploiter le nombre de zéros c'est sur
Par contre, j'ai eu en prépa des problèmes qui m'ont donné un système d'équations à 17 variables : maple, matrice, inversion, 15 minutes.
Sur du n raisonnable c'est très utile

[tego]

Citation :

Publié par Assurancetourix

Je me gausse en pivotant .

Pas mal!

[Mothra]

Citation :

Publié par G.Skilled

Oui sur des trucs type taille 1 million par 1 million mieux vaut exploiter le nombre de zéros c'est sur
Par contre, j'ai eu en prépa des problèmes qui m'ont donné un système d'équations à 17 variables : maple, matrice, inversion, 15 minutes.
Sur du n raisonnable c'est très utile

Heu, 15 minutes pour inverser une matrix pour N=17, lol. Il faut 1 miliseconde pour N=10000 en s'y prenant de la facon correcte (LU avec pivot). Je sais pas comment Mapple se demerde pour etre aussi lent. T'as plus vite fait a la main avec un stylo la

Sinon les matrices sont partout. Le truc super cool qui stitch les photos ensemble, c'est base sur des decompositions QR (pour calculer les vecteurs orthogonaux). Les ecoulements de fluide sur une aile d'avion, etc, etc.

Tu peux aussi faire des transformations geometriques (les GPU sont des machines a multiplier des matrices, par exemple).

[Adau]

Citation :

Publié par Mothra

Je sais pas comment Mapple se demerde pour etre aussi lent.

Maple, contrairement à Matlab ou Python/Numpy, est un logiciel de calcul formel. L'inversion d'une matrice n'est donc pas une résolution "numérique". Python/Sympy (le module pour faire du calcul formel) devrait être beaucoup plus lent que Python/Numpy.

C'est beaucoup plus lent, mais l'avantage c'est qu'il n'y a aucun risque de propagation d'erreur numérique.

Citation :

Publié par Mothra

Heu, 15 minutes pour inverser une matrix pour N=17, lol. Il faut 1 miliseconde pour N=10000 en s'y prenant de la facon correcte (LU avec pivot). Je sais pas comment Mapple se demerde pour etre aussi lent. T'as plus vite fait a la main avec un stylo la

Sinon les matrices sont partout. Le truc super cool qui stitch les photos ensemble, c'est base sur des decompositions QR (pour calculer les vecteurs orthogonaux). Les ecoulements de fluide sur une aile d'avion, etc, etc.

Tu peux aussi faire des transformations geometriques (les GPU sont des machines a multiplier des matrices, par exemple).

Quand je dis que maple est lent c'est pas au sens où tu l'entends. Peut-être que le calcul en lui même est pas opti mais c'est pas ça l'essentiel du temps pour résoudre l'exo. L'essentiel du temps c'est pour entrer les 17*17 caractères au bon endroit, et écrire les équations en fonction du problème. L'éditeur est parfois un peu chiant aussi dans la manière dont on peut écrire les choses.
Tu peux expliquer comment ça se passe pour gérer des photos avec des matrices ?
Une photo est une matrice par exemple 1920*1080 pouvant prendre des valeurs dans [[0,16777216]]^3 mais à quoi ça sert ?

[Sakechi]

Pourquoi [[0,16777216]]^3? Le RGB c'est 0 à 255 sur chaque couleur.
Et tous les formats d'image non-vectoriels (donc le jpg, gif, etc...) sont des formats matriciels, donc chaque pixel est codé de cette façon (ce qui donne une matrice en effet). Ca le rend extrêmement sensible aux redimensionnements car les algorithmes d'agrandissement interpolent, donc ça pixellise à fond. (contrairement aux images vectorielles)

Citation :

Publié par Sakechi

Pourquoi [[0,16777216]]^3? Le RGB c'est 0 à 255 sur chaque couleur.
Et tous les formats d'image non-vectoriels (donc le jpg, gif, etc...) sont des formats matriciels, donc chaque pixel est codé de cette façon (ce qui donne une matrice en effet). Ca le rend extrêmement sensible aux redimensionnements car les algorithmes d'agrandissement interpolent, donc ça pixellise à fond. (contrairement aux images vectorielles)

Ah oui zut, je m'emmêle les pinceaux, c'est sans le ^3
Du coup si je veux réduire une photo, c'est intelligent de prendre le pgcd des deux chiffres de la définition et de diviser la taille par un diviseur du pgcd ?

[Adau]

Citation :

Publié par G.Skilled

Du coup si je veux réduire une photo, c'est intelligent de prendre le pgcd des deux chiffres de la définition et de diviser la taille par un diviseur du pgcd ?

Non pas vraiment. Lorsque tu agrandis non plus d'ailleurs. L'important c'est de bien activer l'interpolation pour ne pas se retrouver avec des "trous" ou des "gros pixels" (en fonction du type de transformation utilisé).

[cricri]

travailler sur photo c est plus transforme de fourier que matrice non ?

[Mothra]

Citation :

Publié par cricri

travailler sur photo c est plus transforme de fourier que matrice non ?

Pas seulement, pour le stitching. Tu dois trouver les features sur la photo, puis corriger pour les erreurs de perspective. C'est QR avec une resolution de systemes d'equations ensuite trouver les valeurs propre (la base de la perspective) avec un eigensolver, puis l'application des transormations geometriques sur l'image pour harmoniser avec le reste du set (gemm). Apres il y a un FFT pour faire correspondre les images corrigees.

http://research.microsoft.com/pubs/70092/tr-2004-92.pdf

[kermo]

Tu peux faire du mosaicing (stitching) juste avec du Fourier, mais je pense que ça sera très sensible aux occultations car ça peut faire beaucoup changer le résultat de la FFT.
On peut même en faire sans FFT ni extractions de features, mais pour le coup faut mieux être à l'aise avec les matrices...