[MATHS] Théorie des groupes.

Cercle · 14/06/2005, 18h32

Bonjour à tous et à toutes.
Voila je seche lamentablement sur un ptit exo,alors si le coeur vous en dit:

Soit G un groupe tel que le groupe des automorphismes de G soit monogène.
Montrer que G est abélien.

Je suis persuadé que c'est tout con...mais l'effet vacances est la... :-)

El'Diablo · 14/06/2005, 18h42

Ok. Maintenant explique moi où sont les maths là-dedans.

RaiseYourWeapon · 14/06/2005, 18h42

C'est quel niveau ca ?

Eldaril · 14/06/2005, 18h52

Un être amorphe ne peut pas posséder plus d'un gêne.
C'est donc un alien.

De rien.

Blasteguaine · 14/06/2005, 18h55

Hum je sèche sur la définition de groupe monogène...

Herm · 14/06/2005, 18h58

Si ça peut aider quelques personnes :
http://www.ilemaths.net/maths_p-grou...eaux-corps.php

**Mardil** · 14/06/2005, 19h05

[Oups, j'avais lu en diagonale.

]

The BlooD Wolf · 14/06/2005, 19h23

Citation :

Publié par Oui Mais Non

C'est quel niveau ca ?

Bac plus un. Quoi que, les monogènes j'ai jamais vu ça, mais les groupes abéliens en tous cas, sûr.

Ragnarox · 14/06/2005, 19h29

Je sèche aussi sur monogène malgré mon bac +1, sinon j'aurais ptetre tenté d'y réfléchir...

**Niluje** · 14/06/2005, 20h48

Pareil pour le monogène

Blasteguaine · 14/06/2005, 20h58

Monogène ça veut dire qu'il est engendré par un seul élément ? (ça me semble logique)
Ca tombe bien j'ai du mal avec la notion de groupe engendré par un élément, mais c'est dans le lien donné plus haut. (mon exam est passé alors bon... me demande comment j'ai pu avoir 8 en ayant autant de mal d'ailleurs)

Monsieur Biaque · 14/06/2005, 21h02

Faisez de la bio, c'est plusse mieux.

P.S.
Le premier qui répond « Ou du français. » je le… Hum, heu, bon… 'tention hein ! Sinon…

LoL0 · 14/06/2005, 21h18

Vu comme ça, je dirais :

soit f un élément de l'ensemble des automorphismes de (G,*), et u,v deux éléments de G, alors :
f(u*v) = f(u) * f(v)
Or l'ensemble des automorphismes de G est monogène, donc il est commutatif par rapport à (*).

D'où f(u*v) = f(u) * f(v) = f(v) * f(u) = f(v*u)
=> u*v = v*u (f bijective).
Donc G est commutatif par rapport à (*).

C'est peut être pas d'une rigueur à toute épreuve mais il doit y avoir du bon.
Bonne chance.

Blasteguaine · 14/06/2005, 21h25

Citation :

Publié par Koubiak Bearbeard

Faisez de la bio, c'est plusse mieux.

Ou de l'anglais.
Sinon ça c'est les maths qu'on fait en informatique... Ben je préfère ça aux maths de physiciens

**Mardil** · 14/06/2005, 21h41

Citation :

Publié par LoL0

Or l'ensemble des automorphismes de G est monogène, donc il est commutatif par rapport à (*).

Euh, le groupe des commutatif n'est pas défini par rapport à la loi de composition plutôt?

Genre, ici, quels que soient f et g deux automorphismes de G, on a fog = gof...

Drachen · 14/06/2005, 21h48

Citation :

Publié par LoL0

D'où f(u*v) = f(u) * f(v) = f(v) * f(u) = f(v*u)

Tu fais commuter f(u) avec f(v), qui sont deux éléments de G, donc à priori ils ne commutent pas.

Je propose :

Soient a et b dans G. On note e l'élément neutre de G. Je note + la loi interne de G. On note f un automorphisme générateur de du groupe des automorphismes de G.

Le groupe des automorphismes étant monogène, on peut écrire que :

il existe n tel que a = [f^n](e), avec f^n désignant la composée nième de l'automorphisme f. En effet, il existe un automorphisme g tel quel g(e)=a, et cet automorphisme peut s'obtenir à partir de l'automorphisme générateur f.

De même, il existe p tel que b=[f^p](e). On suppose n>p, ce n'est pas restrictif.

Donc :

a+b = [f^n](e)+[f^p](e)= [f^p]( [f^(n-p)](e) )+[f^p](e)

Ensuite, j'utilise f(a+b)=f(a)+f(b) :

a+b = [f^p] ( [f^(n-p)(e)] + e )

L'élément neutre commute avec tous les éléments de G, donc :

a+b = [f^p] ( e + [f^(n-p)](e) )

Et on resimplifie

a+b = [f^p](e) + [f^n](e) = b+a

Donc G est abélien.

Conclusion : rien de plus pratique qu'un clavier pour écrire des composées de fonctions... [f^(n-p)](e), rien de plus lisible...

**Mardil** · 14/06/2005, 21h53

Citation :

Publié par Drachen

il existe n tel que a = f^n(e), avec f^n désignant la composée nième de l'automorphisme f. En effet, il existe un automorphisme g tel quel g(e)=a

Ah? Un automorphisme envoie forcément l'élément neutre sur l'élément neutre, pourtant.
Si f est un automorphisme, quel que soit a dans G, on a :
f(e)=f(a-a)=f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)=e...

Drachen · 14/06/2005, 21h57

f(a)=f(-a) ?

Edit : oui je voulais dire f(-a)=-f(a) ?

Hmm ça rentre dans la définition, tu dis ? j'vais vérifier, ça m'étonne. Si ce n'est pas une définition, mais une conséquence directe, je veux bien la démo

Edit 2 : ah ui, f(e)=e... Ma démo tombe à l'eau

**Mardil** · 14/06/2005, 21h59

Non, pourquoi?
J'ai dit que f(-a)=-f(a), ce qui entre dans la définition d'un automorphisme, et même d'un morphisme tout court.

harermuir · 14/06/2005, 22h21

Monogène, je dirai betement avec un seul générateur. D'un autre coté, ca voudrait dire que c'est un groupe de Lie, ce que je ne vois pas dans l'énoncé.

Kathar - Alleria - Lango · 14/06/2005, 22h23

Citation :

Publié par Drachen

f(a)=f(-a) ?

Edit : oui je voulais dire f(-a)=-f(a) ?

Hmm ça rentre dans la définition, tu dis ? j'vais vérifier, ç a m'étonne. Si ce n'est pas une définition, mais une conséquence directe, je veux bien la démo

f(a) = f(a)+f(e)
f(a) = f(a)+f(-a)+(-f(-a))
f(a) = f(a+(-a))+(-f(-a))
f(a) = f(e)+(-f(-a))
f(a) = -f(-a)

Drachen · 14/06/2005, 22h31

Heu je crois que j'ai trouvé un contre-exemple... Sans toi Mardil, j'aurais démontré un truc faux, ce qui est très mal

Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre).

Y'a deux automorphismes possibles : f tq f(1)=2 et f(2)=1, et l'identité, qu'on note g.

g=f² donc le groupe des automorphismes est bien monogène.

Pourtant, 1+2 ne vaut pas 2+1 donc G n'est pas abélien.

J'me trompe ?

Edit : j'm'en suis rendu compte sous la douche hier... J'crois jvais demander le ban de mon compte JOL...

**Mardil** · 14/06/2005, 22h47

Oui, tu te trompes, parce qu'avec la loi + que tu as défini, G n'est pas un groupe...
si G est un groupe, tu devrais avoir un élément inverse pour 1 et pour 2, et en l'occurrence, je n'en vois pas.

Harkhih · 14/06/2005, 22h49

Citation :

Publié par Drachen

Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre).

Soit j' ai mal compris ta construction, soit ton groupe est réduit au neutre (formellement : 1+2=2, donc 1+2-2=0 de la même façon 2=0) et alors le groupe des automorphismes est réduit à l' identité.

++

Ex-voto · 14/06/2005, 23h02

Citation :

Publié par Drachen

Heu je crois que j'ai trouvé un contre-exemple... Sans toi Mardil, j'aurais démontré un truc faux, ce qui est très mal

Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre).

Y'a deux automorphismes possibles : f tq f(1)=2 et f(2)=1, et l'identité, qu'on note g.

g=f² donc le groupe des automorphismes est bien monogène.

Pourtant, 1+2 ne vaut pas 2+1 donc G n'est pas abélien.

J'me trompe ?

t'aurais du me demander avant là lol :d

Un groupe à 3 éléments est forcément isomorphe à celui là:

({e,a,b},*)

* e a b
e e a b
a a b e
b b e a

c'est à dire

+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1

edit: un MP owned par un PSI en math

Cercle Prophète	Bonjour à tous et à toutes. Voila je seche lamentablement sur un ptit exo,alors si le coeur vous en dit: Soit G un groupe tel que le groupe des automorphismes de G soit monogène. Montrer que G est abélien. Je suis persuadé que c'est tout con...mais l'effet vacances est la... :-)
14/06/2005, 18h32

El'Diablo Alpha & Oméga	Ok. Maintenant explique moi où sont les maths là-dedans.
14/06/2005, 18h42

RaiseYourWeapon Alpha & Oméga	C'est quel niveau ca ?
14/06/2005, 18h42

Eldaril Prophète	Un être amorphe ne peut pas posséder plus d'un gêne. C'est donc un alien. De rien.
14/06/2005, 18h52

Blasteguaine Alpha & Oméga	Hum je sèche sur la définition de groupe monogène...
14/06/2005, 18h55

Herm Alpha & Oméga	Si ça peut aider quelques personnes : http://www.ilemaths.net/maths_p-grou...eaux-corps.php
14/06/2005, 18h58

Mardil	[Oups, j'avais lu en diagonale. ]
14/06/2005, 19h05

The BlooD Wolf Alpha & Oméga	Citation : Publié par Oui Mais Non C'est quel niveau ca ? Bac plus un. Quoi que, les monogènes j'ai jamais vu ça, mais les groupes abéliens en tous cas, sûr.
14/06/2005, 19h23

Ragnarox Alpha & Oméga	Je sèche aussi sur monogène malgré mon bac +1, sinon j'aurais ptetre tenté d'y réfléchir...
14/06/2005, 19h29

Niluje Alpha & Oméga	Pareil pour le monogène
14/06/2005, 20h48

Blasteguaine Alpha & Oméga	Monogène ça veut dire qu'il est engendré par un seul élément ? (ça me semble logique) Ca tombe bien j'ai du mal avec la notion de groupe engendré par un élément, mais c'est dans le lien donné plus haut. (mon exam est passé alors bon... me demande comment j'ai pu avoir 8 en ayant autant de mal d'ailleurs)
14/06/2005, 20h58

Monsieur Biaque Alpha & Oméga	Faisez de la bio, c'est plusse mieux. P.S. Le premier qui répond « Ou du français. » je le… Hum, heu, bon… 'tention hein ! Sinon…
14/06/2005, 21h02

Blasteguaine Alpha & Oméga	Citation : Publié par Koubiak Bearbeard Faisez de la bio, c'est plusse mieux. Ou de l'anglais. Sinon ça c'est les maths qu'on fait en informatique... Ben je préfère ça aux maths de physiciens
14/06/2005, 21h25

Mardil	Citation : Publié par LoL0 Or l'ensemble des automorphismes de G est monogène, donc il est commutatif par rapport à (*). Euh, le groupe des commutatif n'est pas défini par rapport à la loi de composition plutôt? Genre, ici, quels que soient f et g deux automorphismes de G, on a fog = gof...
14/06/2005, 21h41

Mardil	Citation : Publié par Drachen il existe n tel que a = f^n(e), avec f^n désignant la composée nième de l'automorphisme f. En effet, il existe un automorphisme g tel quel g(e)=a Ah? Un automorphisme envoie forcément l'élément neutre sur l'élément neutre, pourtant. Si f est un automorphisme, quel que soit a dans G, on a : f(e)=f(a-a)=f(a)+f(-a)=f(a)-f(a)=e...
14/06/2005, 21h53

Drachen Alpha & Oméga	f(a)=f(-a) ? Edit : oui je voulais dire f(-a)=-f(a) ? Hmm ça rentre dans la définition, tu dis ? j'vais vérifier, ça m'étonne. Si ce n'est pas une définition, mais une conséquence directe, je veux bien la démo Edit 2 : ah ui, f(e)=e... Ma démo tombe à l'eau
14/06/2005, 21h57

Mardil	Non, pourquoi? J'ai dit que f(-a)=-f(a), ce qui entre dans la définition d'un automorphisme, et même d'un morphisme tout court.
14/06/2005, 21h59

harermuir Alpha & Oméga	Monogène, je dirai betement avec un seul générateur. D'un autre coté, ca voudrait dire que c'est un groupe de Lie, ce que je ne vois pas dans l'énoncé.
14/06/2005, 22h21

Kathar - Alleria - Lango	Citation : Publié par Drachen f(a)=f(-a) ? Edit : oui je voulais dire f(-a)=-f(a) ? Hmm ça rentre dans la définition, tu dis ? j'vais vérifier, ç a m'étonne. Si ce n'est pas une définition, mais une conséquence directe, je veux bien la démo f(a) = f(a)+f(e) f(a) = f(a)+f(-a)+(-f(-a)) f(a) = f(a+(-a))+(-f(-a)) f(a) = f(e)+(-f(-a)) f(a) = -f(-a)
14/06/2005, 22h23

Mardil	Oui, tu te trompes, parce qu'avec la loi + que tu as défini, G n'est pas un groupe... si G est un groupe, tu devrais avoir un élément inverse pour 1 et pour 2, et en l'occurrence, je n'en vois pas.
14/06/2005, 22h47

[MATHS] Théorie des groupes.

Connectés sur ce fil

Harkhih Prophète	Citation : Publié par Drachen Soit G = {0,1,2}, et la loi + définie par : 1+2 = 2 et 2+1 = 1 (0 est l'élément neutre). Soit j' ai mal compris ta construction, soit ton groupe est réduit au neutre (formellement : 1+2=2, donc 1+2-2=0 de la même façon 2=0) et alors le groupe des automorphismes est réduit à l' identité. ++
14/06/2005, 22h49