Mathématisation...

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[Ceci n'est pas le bon enoncé *se pend*]

Je cherche a determiner une fonction f telle que :

f définie sur 0;+inf
f strictement décroissante
f(1)=1
f tend vers 0 en +inf
Pour tout x réel : 2 * f(2x) = f(x)
Re: Mathématisation...
Citation :
Provient du message de Prune
Je cherche a determiner une fonction f telle que :

f définie sur 0;+inf
f strictement décroissante
f(1)=1
f tend vers 1 en +inf


1/x ?
Notez comment on supprime une restriction.
tsss ....
je tiens une réponse bricolée macgyver : la dernière relation dénote une "linéarité inverse" donc la fonction 1/x marche nickel ...
Par contre, de là à trouver TOUTES les fonctions vérifiant cette identité ...
(la différentiation ne donne rien de bon, peut-être qu'en jouant sur les séries ...)
Donc voila l'énoncé tant attendu....

Determiner l'ensemble des fonctions f telles que :
f(0)=1
Pour tout x réel : f( x + f(x) ) = f(x)/2

^^
Re: Re: Re: Mathématisation...
Citation :
Provient du message de Obierwan MILKS
sauf que quand x tend vers +inf, 1/x tend vers 0...
Citation :
Provient du message de Prune
f tend vers 0 en +inf
bon alors c'est pas dur...

notons f(x)=X

on a donc f(x+X)=X/2
et f(0)=1

{Donc x+X=0
{et X/2=1

{x=-X
{X=2

{x=-2
{X=2

donc f(x)=2 équivaut à f(-2)=2

On a donc f(0)=1
et f(-2)=2

A partir de la c'est tout simple...
ta fonction sera du style y=ax+b

si x=0 alors y=1 donc 1=a*0+b <=> 1=b
si x=-2 alors y=2 donc 2=-2*a+b or b=1 (voir ligne au dessus) donc 2=-2*a+1 <=> -2*a=1 donc a=-1/2

Ta fonction est donc du style f(x)=-1/2x+1

f(0)=-1/2*0+1=1
f(x-1/2x+1)=f(1/2x+1)=-1/2(1/2x+1)+1=-1/4x-1/2+1=-1/4x+1/2
or f(x)/2=(-1/2x+1)/2=-1/4x+1/2

Donc c'est bon
Re: Re: Re: Re: Mathématisation...
Citation :
Provient du message de Ludmilia
Citation :
Provient du message de Prune
Je cherche a determiner une fonction f telle que :

f définie sur 0;+inf
f strictement décroissante
f(1)=1
f tend vers 1 en +inf
Ca a été édité...
regarde le premier message de réponse et tu verras dans le QUOTE.
Re: Re: Re: Re: Re: Mathématisation...
Citation :
Provient du message de Obierwan MILKS
Ca a été édité...
regarde le premier message de réponse et tu verras dans le QUOTE.
Nope ca a pas été édité
C'est juste lui qui a du le changer après le quote
Suis pas débile non plus... une f st décroissante qui vaudrait 1 en 1 et 1 en +inf.... etonnant
Obierwan : oui mais la on ne les a pas toutes trouvées ... enfin me semble -t'il
J'arrive au même résultat, mais par une relation de récurrence :
f(x0+f(x0))=f(x0)/2
x1=x0+f(x0)
f(x1)=f(x0)/2
f(x1+f(x1))=f(x1)/2 soit
f(x0+3/2f(x0))=f(x0)/4
on récure proprement
f(x0+(2-1/2^n)f(x0))=1/2^n f(x0)

Alors après j'ai un doute ... je fais tendre n vers l'infini
D'accord, c'est à peu près la même chose
j'obtiens x0+2f(x0)=f^(-1)(0) et voilà.
Mais j'ai un doute. J'ai une solution, mais pas forcément toutes
Citation :
Provient du message de Panzerjo MILKS
Obierwan, on est cense poser des question pas y repondre!
Rahlala!
Bah pourquoi? (Ca te va ca comme question? )


Sinon Prune, elle te va ma solution pour ta 2eme fonction?
Citation :
Provient du message de Bratisla
Obierwan : oui mais la on ne les a pas toutes trouvées ... enfin me semble -t'il

Mais j'ai un doute. J'ai une solution, mais pas forcément toutes
Peut-être qu'il y a qu'une solution

Enfin je vois pas trop comment trouver les autres si elles existent...
Citation :
Provient du message de Obierwan MILKS
donc f(x)=2 équivaut à f(-2)=2

c'est quoi x ? un réel précis ? un réel quelconque ?
tu sais ce que ça veut dire «équivaut à» ?
en fait tu as (mal) démontré qu'un fonction ayant les propriétés de l'énoncé vérifie nécéssairement f(-2)=2.
précision : je dis mal dans le sens où ta démonstration est fausse.
En effet, ce n'est pas un système de 2 équations
{x+X=0
{X/2=1
que tu as, mais une implication
x+X=0 => X/2=1.


Citation :
A partir de la c'est tout simple...
ta fonction sera du style y=ax+b
pourquoi ?

Citation :
Donc c'est bon
donc tu as trouvé une solution. Pas toutes les solutions. Enfin en tous cas tu n'as pas montré qu'il n'y a pas d'autres solutions
Citation :
Provient du message de Lango Silma

c'est quoi x ? un réel précis ? un réel quelconque ?
tu sais ce que ça veut dire «équivaut à» ?
en fait tu as (mal) démontré qu'un fonction ayant les propriétés de l'énoncé vérifie nécéssairement f(-2)=2.
ouais j'aurais du mettre ... <=> x=-2 mais c'est plus rapide comme j'ai écrit

Citation :
pourquoi ?
Regarde la date de naissance de la posteuse ( ) et tu verras bien qu'avec l'age qu'elle a, on voit juste les fonctions y=ax+b

Citation :
donc tu as trouvé une solution. Pas toutes les solutions. Enfin en tous cas tu n'as pas montré qu'il n'y a pas d'autres solutions
J'ai dit aussi que je ne savais pas comment trouver les autres solutions si elles existaient
Citation :
Provient du message de Bratisla
Alors après j'ai un doute ... je fais tendre n vers l'infini
il te manque la propriété de continuité de f pour pouvoir faire ça.

Cela dit, je suis à peu près convaincu que si l'on n'a auncune hypothèse de plus sur f, du genre continuité au moins, on ne peut pas trouver toutes les solutions.
Citation :
Provient du message de Bratisla
J'arrive au même résultat, mais par une relation de récurrence :
J'ai pas lu tout ton truc... mais tu fais ta récurrence sur quoi ??? parce que la on traite de réels...

sinon pour la résolution... y'a un truc qui me gène avec le f(2)=0... mais je dois me tromper
Citation :
Provient du message de Obierwan MILKS
Regarde la date de naissance de la posteuse ( ) et tu verras bien qu'avec l'age qu'elle a, on voit juste les fonctions y=ax+b
hum... le programme du bac a bien baissé alors... (c'est bien de niveau bac qu'on parle, non ?)

PS : je t'invite vivement à t'entrainer à acquérir davantage de rigueur dans ce que tu dis, du moins si tu compte aller en prépa un jour. Par exemple, dans «les fonctions y=ax+b», je suppose que «x», c'est la variable, mais y, c'est quoi ? la fonction ? pourquoi ne pas mettre plutôt «f(x)=ax+b», ça serait nettement plus clair...
Citation :
Provient du message de Obierwan MILKS
Regarde la date de naissance de la posteuse ( ) et tu verras bien qu'avec l'age qu'elle a, on voit juste les fonctions y=ax+b
La posteuse comme tu dis... meme si elle ne pretend pas rivaliser avec ton génie hautement mathématique.... et qui n'a aucune envie de peter plu haut que son cul se doit de te préciser :
Qu'elle passe son bac S, spe Math la semaine prochaine
Qu'elle a passé le concours général de mathématique
Qu'elle integre une classe preparatoire MPSI au lycée louis le grand l'année prochaine
Qu'elle adore les maths et passe son temps dans des bouquins de maths... (vieux, recent, peu importe)
Et qu'elle est un il....
*boude*
Citation :
Provient du message de Lango Silma
il te manque la propriété de continuité de f pour pouvoir faire ça.

Cela dit, je suis à peu près convaincu que si l'on n'a auncune hypothèse de plus sur f, du genre continuité au moins, on ne peut pas trouver toutes les solutions.
Oui mais en physique ... toutes les fonctions sont continues si ça nous arrange

Prune : ma récurrence s'appuie sur xn=xn_1+ f(xn_1) dont on peut définir f(xn).
Mais comme il dit l'autre pour le passage à la limite il faut continuité.
Citation :
Provient du message de Prune
J'ai pas lu tout ton truc... mais tu fais ta récurrence sur quoi ??? parce que la on traite de réels...
il montre par récurrence sur n que quel que soit n>=0,
f(1+1/2+...1/2^n)=1/2^{n+1}.

d'où, si f est continue en 2, f(2)=0 en passant à la limite quand n->+∞.
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