Provient du message de
Lango Silma
Si sa somme vaut 7, il conclut que les nombres valent 1 et 6, puisque c'est le seul cas ou A pouvait conclure.
en espérant pas m'être planté
Tu ne t'es pas trompé.
donc on est bien d'accord qu'on parle de chiffres entre 0 et 9 et pas de nombres ?
Ca marche aussi avec des nombres, mais le raisonnement est plus délicat.
Notons x et y les deux nombres inconnus.
Je noterai E(a) la partie entière du nombre réel a.
Pour ça, le plus simple est de faire un tableau.
En abcisse, on porte la somme, en ordonnée, on porte le produit.
Dans chaque case, on porte, s'il existe, le couple de nombres dont les produits et somme correspondent.
Remarque : Je vous conseille vraiment de faire ce tableau pour comprendre la suite. Eventuellement, je vais vous le tracer tout à l'heure.
Ainsi, A sait sur quelle ligne on se trouve, et B sais sur quelle colonne.
A mesure que les deux parlent, on va pouvoir rayer différentes cases.
A un instant donné, A peut conclure s'il ne reste qu'un seul couple sur sa ligne.
B peut conclure s'il ne reste qu'un seul couple sur sa colonne.
Ce qui va empêcher les grands nombres d'être pris en compte, c'est que sur une colonne donnée, il y a E((x+y)/2) cases remplies, ce qui va très vite restreindre la marge de manoeuvre de B.
En effet, pour une somme x+y donnée, le produit x.y est forcément supérieur ou égal à (x+y)-1
Réciproquement, pour un produit x.y donné, la somme x+y est forcément supérieure ou égale à [2.racine(x.y)]
Maintenant, regardons ce qu'il se passe quand le dialogue avance.
A : Je ne sais pas.
A connais x.y, et ne peut pas conclure. On peut donc rayer dans le tableau toutes les cases qui sont seules sur une ligne.
Ces cases correspondent aux couples (1,p) avec p premier.
B : Je ne sais pas.
Imaginons que x+y>=11. Alors, dans toutes les colonnes, il y a initialement au moins 3 couples de nombres possibles, dont au plus un qui se met sous la forme (1,p)
Dans ce cas, B ne peut pas conclure.
Mais, toujours dans ce cas, on a x.y>=10.
Donc, du point de vue de A, on a x+y >= 7 car (2.racine(10)) = 6.32
Donc, A savais déjà qu'aucune valeur de x+y n'aurait permis à B de conclure.
Donc, du point de vue de A,
aucune valeur de la somme n'aurait permis à B de conclure.
Donc, A n'obtiens
aucune information supplémentaire de la réponse de B !!!!!
Par conséquent, on a forcément x+y < 11
(et donc, forcément, x.y < 30)
Maintenant qu'on a ça, il ne reste plus qu'un nombre fini de possibilités, et, en raisonnant comme l'a fait Lango, on trouve le résultat.
J'espère que j'ai été à peu près clair
PS : Bisou Lil'